Práctica 2 Ejercicio 21

Ayudaa!!!

te dejo la idea general vos arregla los detalles,
\(\frac {|x y^2 |}{ \frac {1}{2} x^2 + y^2} < \frac {|x y^2 |}{ \frac {1}{2} x^2 + \frac {1}{2} y^2}\) \(= \frac {2 |x y^2 |}{ x^2 + y^2}\) y aca \(\frac {y^2 }{ x^2 + y^2}\) esta acotado entre cero y uno y \(|x|\) tiende a cero entonces el limite existe y da cero por la propiedad cero por acotado. ahora la segunda parte, \(- \frac { \tan (x^2 y) }{ \frac {1}{2} x^2 + y^2} =\)\(- \frac { \sin (x^2y) } { x^2 y} \frac {1}{\cos (x^2 y)} \frac {x^2y} { \frac {1}{2} x^2 + y^2 }\) y este limite existe y da cero pues la primer parte tiende a 1 por composicion de funciones continuas (ademas es un limite conocido del cbc), el segundo tambien tiende a 1 pues el coseno tiende a 1 cuando lo de adentro tiende a cero, y el ultimo da cero pues es casi identico al que hice al principio del ejercicio. en concluison el limite original existe y es cero.
espero haberte ayudado, cualquier error o duda avisame 😛

ivoo escribió:

te dejo la idea general vos arregla los detalles,
\(\frac {|x y^2 |}{ \frac {1}{2} x^2 + y^2} < \frac {|x y^2 |}{ \frac {1}{2} x^2 + \frac {1}{2} y^2}\) \(= \frac {2 |x y^2 |}{ x^2 + y^2}\) y aca \(\frac {y^2 }{ x^2 + y^2}\) esta acotado entre cero y uno y \(|x|\) tiende a cero entonces el limite existe y da cero por la propiedad cero por acotado. ahora la segunda parte, \(- \frac { \tan (x^2 y) }{ \frac {1}{2} x^2 + y^2} =\)\(- \frac { \sin (x^2y) } { x^2 y} \frac {1}{\cos (x^2 y)} \frac {x^2y} { \frac {1}{2} x^2 + y^2 }\) y este limite existe y da cero pues la primer parte tiende a 1 por composicion de funciones continuas (ademas es un limite conocido del cbc), el segundo tambien tiende a 1 pues el coseno tiende a 1 cuando lo de adentro tiende a cero, y el ultimo da cero pues es casi identico al que hice al principio del ejercicio. en concluison el limite original existe y es cero.
espero haberte ayudado, cualquier error o duda avisame 😛

bien, yo lo saque de otra manera, no separe y me di cuenta que el tan(t)/t tiende a 1 cuando t tiende a cero y ahi lo saque como normalmente se hace con el seno

bueno asi tmb esta bien, el unico cuidado que tenes que tener es que lo que este adentro de la tangente tiene que ser lo mismo que la divide para que el limite sea 1