Hola, me dan una mano para probar este límite?
$$\displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,1)}}ye^x=1$$
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[Resuelto] P:2 - Ej. 10-e)
Como el limite de un producto es el producto de limites entonces tenes que probar que
\(\lim_{(x,y)\rightarrow\(0,1)} e^x=1\),el otro es fácil.
Como \(\lim_{(x,y)\rightarrow\(0,1)}\ln(e^x)=0\)(ese tambien es fácil de probar)se infiere que \(\lim_{(x,y)\rightarrow\(0,1)} e^x=1\).
gracias!! no se me había ocurrido lo del ln.
Eso vale por la continuidad del logaritmo.
no entendí, no sale por definicion?
no se puede reemplazar directamente? es decir si reemplazo X por cero, y a Y por uno, te da uno.....la guia no pide probar por definicion
Si no me equivoco lo que vos decís se llama calcular el límite. Luego de calcularlo tenés que probarlo...
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"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
algo que pense para resolverlo por definición:
$$| y e^x - 1 | = | y e^x - e^x + e^x - 1 | \leq |e^x (y-1)| + |e^x - 1|$$
Como sabemos que \(|x| < \delta\), si tomamos \({\delta}_{aux} = 1\) tenemos que \(|x|< 1\)
(vale lo siguiente?) : entonces \({e}^{|x|} < e^1\)
luego la desigualdad nos queda:
\(|ye^x - 1| < e|y-1| + |e^x - 1|\), no se muy bien como seguir acá, como se que e^x tiene a 1 cuando x tiente a cero entonces podria acotarlo por uno...
que alguien me corrija por favor :p
edit: el ejercicio no esta terminado
No veo por qué querés demostrar por definición esto, si justamente tenés teoremas que te permiten usar álgebra y composición de límites para reducirlos a problemas más simples.
Si \(\,\, x \in I_{\delta}(0)\) con \(I\) un intervalo de radio \(\delta < 1\) centrado en \(0\), entonces
\(x < 1\), \(0 \leq e^x < 1\) con lo cual \(0 < |e^x - 1| \leq 1\)
porque justamente el enunciado del ejercicio dice que hay que demostrarlo por definición, ya se que se puede hacer por algebra de limites pero supongo que la idea del ejercicio es que veamos distintas formas de acotar..., muchos demostraron seguro el item a por definicion pero ese salia tambien por algebra de limites.
Ok, por definición querés ver que dado \(\epsilon > 0\), existe \(\delta > 0\) tal que
\(| ye^x - 1 | < \epsilon\), siempre que \((x,y) \in B_{\delta}((0,1)), (x,y) \in Dom(f)\)
Fijate que si acotás \(|e^x-1|\) por \(1\), no vas a poder probar que la distancia es tan chica como vos querés. Porque \(|ye^x - 1| < e^x|y-1| + |e^x - 1| < \delta + 1 > 1\) para cualquier \(\delta > 0\).
\(|e^x-1|\) podés plantear que es menor a \(|2x|\) si \(|x|<1\) que es el delta auxiliar que ya habias elegido antes. y sino podes plantear \({\delta}_{0}\) sabiendo que para cada delta: \(|x|<\delta\) existe \(|e^x-1|\)\(<\epsilon\), ahí elegís un \(\delta\) tal que \(\delta=\frac{\epsilon}{2}\) entonces en la cuenta esa que te habia quedado reemplazás \(|e^x-1|\) por \(\frac{\epsilon}{2}\) yo se que me expliqué mal pero bue xD
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"No soy como aquel chabón, que jotraba a lo cartón yugando de papeleta, y se morfa la boleta acompañado de un garrón"
Hola. Este ejercicio no lo había hecho. Lo vi y no me salia, viendo como lo resolvieron mas arriba no me quedaba claro porque acotar
\(|e^x -1|\leq |2x|\)? Pero al resolverlo llegue a lo mismo...
Bueno nos dicen que \(\lim_{(x,y)\rightarrow(0,1)}ye^x\eq= 1\)
Probar eso por definición, bueno usando la definición de limite \(||(x,y-1)||<\delta\longrightarrow\ |ye^x-1|<\epsilon\)
Luego sabemos por la desigualdad triangular que \(|x|<\delta\) y \(|y-1|<\delta\) es lo que uso al probar el limite.Bueno
$$|ye^x-1|= |ye^x-e^x+e^x-1|\leq |ye^x-e^x|+|e^x-1|=|e^x(y-1)|+\left |\frac{(e^x-1)x}{x}\right|$$
$$|e^x(y-1)|+\left |\frac{(e^x-1)x}{x}\right|\leq |e^x||y-1|+\left |\frac{(e^x-1)}{x}\right||x|$$
Bueno si tomamos \(\delta<1\) y \(|x|<\delta\) entonces \(|x|<1\) y luego podemos acotar \(|e^x|\)
Luego \(|e^x|<e<3\) entonces tomo como cota al \(3\)
Para acotar \(\left |\frac{(e^x-1)}{x}\right|\) hay que ver que \(\lim_{x\rightarrow 0}\left |\frac{e^x-1}{x}\right|\eq=1\)
Creo que por eso podemos acotar por \(2\), luego creo que podemos afirmar \(\left |\frac{(e^x-1)}{x}\right|< |2|\)
cuando \(x\rightarrow0\)
Luego va quedando así \(|e^x||y-1|+\left |\frac{(e^x-1)}{x}\right||x|\leq 3|y-1|+2|x|\)
Luego uso \(|x|<\delta\) y \(|y-1|<\delta\)
$$3|y-1|+2|x|< 3\delta + 2\delta = 5\delta <\epsilon$$
Luego tomo \(\delta \leq \{1,\frac{\epsilon}{5}\}\)
Bueno hacemos una sustitución para ver \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}\eq=1\)
Tomo \(y=e^x-1\), despejo \(x\), se ve que \(\ {y\rightarrow0} _{x\rightarrow0}\\)
Donde \(x= ln(y+1)\), luego el limite nos queda \(\lim_{y\rightarrow 0}\frac{y}{ln(y+1)}\eq= \lim_{y\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{ln(y+1)}{y}}\eq= \lim_{y\rightarrow 0}\frac{1}{ln((y+1)^\frac{1}{y})} \eq= \frac{1}{ln(e)} = 1\)