[No Resuelto] P:4-Ej.:13

Este ejercicio lo estuve tratando de hacer pero fallo

Encontrar los puntos \(P=(x_{0},y_{0},z_{0})\) de la superficie:

En los que el plano tangente a \(S\) sea paralelo a \(\pi : x+4y+6z=8\)

Lo que yo intenté hacer fue:
Si \(\pi:x+4y+6z=8\quad \Rightarrow v=(1,4,6)\) es normal al plano
Luego \(\bigtriangledown S (x_{0},y_{0},z_{0})=(2x_{0},4y_{0},6z_{0})\)
Entonces como \((2x_{0},4y_{0},6z_{0})=(1,4,6) \Rightarrow (x_{0},y_{0},z_{0})=(\frac{1}{2},1,1)\)

Hay cosas q me están faltando, pero me estoy perdiendo ^^
Si alguien puede ayudarme ._.

Hola.

Debes multiplicar al vector normal a \(\pi\) por un escalar genérico, pues las normales pueden ser múltiplos una de otra. Luego, escribiendo los puntos en función del escalar (digamos \(\lambda\)), te fijas cuáles satisfacen la ecuación del elipsoide.

Saludos.

Okas, a ver, lo sigo de donde lo deje:

Como \(v=(1,4,6)\) es normal al plano \(\pi\) y \(\bigtriangledown S (x_{0},y_{0},z_{0})=(2x_{0},4y_{0},6z_{0})\)

Entonces el plano paralelo a \(\pi\) que sea tangente a S tiene que tener una normal paralela a la de \(\pi\). Por lo tanto:

\((2x_{0},4y_{0},6z_{0})=\lambda (1,4,6)\) tal que \(2x_{0}= \lambda \quad 4y_{0}= 4\lambda \quad 6z_{0}= 6\lambda\)
Entonces \(x_{0}= \frac{\lambda}{2} \quad y_{0}= \lambda \quad z_{0}= \lambda\) y puedo decir que \(\lambda (1/2,1,1)=(x_{0},y_{0},z_{0})\)

Ahora lo meto en la ecuación de S y tengo que ver para qué valores de \(\lambda\) me da 21. Y esto es con \(\lambda = 2\)

Entonces \((x_{0},y_{0},z_{0})=(1,2,2)\)

¿Ahora sí puedo decir que está resuelto? o me están faltando puntos

Hola.

Debería haberte quedado \(|\lambda|=2\).

Saludos.