\(\text{Hallar la masa de una placa circular cuyo radio es de 2 unidades sabiendo que}\) \(\text{ en un sistema de coordenadas cartesianas }\)\(\text{con origen en el centro de la placa la densidad puede expresarse como }\) \(p(x,y) = X^2\)
Ok, ya me veo venir las puteadas jajaja. Es que ya me daba cosa el postear tantas preguntas de todo esto... Asi que aca esta mi extraño intento de resolucion, diganme donde esta el error (si es q lo hay):
Primero, creo que debe ser correcto pensar que la masa = volumen * densidad, nose, no soy fisico =) (si, probablemente ponga esa excusa en el parcial)
Entonces, la masa la obtengo de hacer la integral doble del volumen * densidad:
$$\int \int 1 * X^2 dA$$
Tambien, me pide a gritos usar las coordenadas polares:
\((x,y) = (r cos\theta , r sen \theta)\) y el modulo del determinante va a ser r
Desp de justificar lo q sea necesario (q vale la biyectividad porq el "punto problematico" es un conjunto de area cero y demas), me queda algo asi:
$$\int_{0}^{2\pi} \int_{-2}^{2} r^2cos\theta ^2 r .dr d\theta$$
Bueno, el problema es que esa integral me da 0... una placa de masa cero? mmmmm no puede ser....
Si grafico la region que estoy integrando, usando los ejes polares, me queda que estoy integrando un cuadrado que es simetrico respecto al eje del radio... Entonces (y aca esta lo que creo q estoy inventando feo): integro la mitad superior, y porq es simetrico, el area va a ser el doble de eso:
Dos puntos, Nico; hay que ver si es la definición de la secundaria \(M\eq=V\cdot \rho\)? No es de importancia esta cuestión, igualmente... para nosotros, es solo una fórmula la integral en cuestión. Después de esa crítica, al problema; cuando haces cambio de variable, la región circular te queda \(R\eq=[0,2]x[0,2\pi]\), con el cambio de variable dado por \(T(\rho ,\phi )\eq=(\rho \cdot \cos(\phi ),\rho \cdot \sin(\phi ))\)Luego...
Esta integral es sencilla. Fijate cuanto da, y ya está. El tema de la biyectividad, bueno, ya está muy justificado(estos cambios de variables son usuales, con lo que no tenés que justificar mucho...). Espero haberte aclarado dudas.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Ah listo, gracias, ya entendi donde estaba el error.. estaba tomando r desde -2 a 2, pero r es un radio que vale 2 =P
y lo de lo otro M = V*d, es como medio justificar q no sale de la nada el tener que integrar la funcion densidad junto con el volumen de la placa, por ahi sea mas q obvio, porq sino el ejercicio por otro lado no tendria sentido creo, pero verlo asi se me hace mas completo..
de todas formas se re nota q mas q un ejercicio resuelto tiene formato de intento de pedido de auxilio a la comunidad
jeje
Y una cosa que me quedo medio picando... el ejercicio dice "sabiendo que en un sistema de coordenadas cartesianas con origen en el centro de la placa la densidad puede expresarse como tanto "... genial, pero eso lo interpreto que la forma de expresar la densidad depende directamente de que este ubicado en el origen.....buen, obviamente la densidad no cambia si muevo el objeto un poquito, pero la forma de expresarlo cambiara en algo tipo p(x,y) = X^2 + Ctte,
pero supongamos que depende directamtne de que este en el centro del sistema cartesiano para que la densidad sea x^2..... entonces, no cambiaria todo al hacer el cambio de variable??? no habria q ajustar algo mas q solo agregar un "r" multiplicando dentro de la integral?.. nose se me hizo medio turbio el asunto este
Perdón; yo dije ¿qué tenía que ver...?, es decir, tiene que ver, lo que pasa es que, hay que ver qué realmente es la densidad, el significado de la integral... bueno, la explicación física. Con respecto a tu pregunta, si se supone que la densidad no varía ''sustancialmente'' al cambiar la ubicación del círculo, podés hacer dos cambios de variables; te quedaría, si el nuevo círculo tiene centro en (a,b), la región como \((x,y)\in \mathbb{R}^{2}:\;{(x-a)}^{2}+{(y-b)}^{2}\leq4\). El primer cambio es la transformación lineal biyectiva \(T(u,v)\eq=(u+a,v+b)\). Esta transformación te manda el círculo centrado en el origen al desplazado en (a,b). Calculas su jacobiano, y planteas la nueva integral, y después hacés el cambio a variables polares. Fijate si fui claro. Sino, lo escribo mejor.
Pregunta: La integral de la densidad es la masa? asi nomas,o hay q multiplicarla por el volumen,y de ser así...Nico porq pusiste q el "volumen" es 1? de donde sacas eso?jajaj
Respuestas?
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Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"
Esto es culpa de Nico... para qué trataste de justificar la fórmula...? Vale que \(m\eq=V\cdot \rho\), si la densidad es constante, porque fijate que \(\int_{\mathbb{W}} \rho dV\eq=\rho \int_{\mathbb{W}} dV\eq= \rho \cdot V(\mathbb{W})\)
Es decir, solo vale la formulita clásica cuando es uniformemente constante la densidad. Con respecto al 1 que puso Nico multiplicando... no es el volumen, sino un 1 multiplicando a la densidad.