Este es jodido y largo, solo pude hacer la parte A.
Alguien lo quiere seguir/corregir ?
- Sea F: R2 > R una función diferenciable en el punto (1, 0) y sean \(\varphi\) 1, \(\varphi\) 2 : R2 > R definidas por \(\varphi 1 (t) = (e^{-t}, t) , \varphi 2 = (e^t, t^2)\).
Sabiendo que \((f o \varphi 1)(t) = t^3 + 2t + e^{-t} + 1\) y que \((f o \varphi 2)(t) = 1 + e^t + 2(t^2) - t^4\) para todo t E [-2, 2]
a) Hallar el plano tangente al gráfico de F en el punto (1,0)
b) Hallar fv (1,0) donde \(v = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\)
Resolución del A:
Primero se deriva de ambos lados cada ecuación:
Luego aplico a ambos la regla de la cadena teniendo en cuenta que:
\(\varphi 1 (0) = (1, 0)\), \(\varphi 1 (t)' = (-e^{-t}, 1)\)
\(\varphi 2 (0) = (1, 0)\), \(\varphi 2 (t)' = (e^t, 2t)\) :
\((f o \varphi 1)(t)' = f(1,0)' * \varphi 1 (0)' = <\bigtriangledown F (1,0) , (-1, 1)> = 1\) (el igual a 1 es aplicando t=0 a la derivada de la composición)
Entonces quedamos en que df/dx (1,0) = 1 y df/dy (1,0) = 2
Ahora bien, \(F(1,0) = F o \varphi 1 (0) = 2\). Vemos que se cumple también que
Entonces la ecuación del plano tangente en el (1,0) de F es:
\(Z = 2 + 1 (x-1) + 2 (y - 0) \Rightarrow Z = X + 2Y + 1\)
Edito: agrego la Resolución del B:
\(<\bigtriangledown F (1,0) , (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}) > = 1/\sqrt{2} + 2/\sqrt{2} = 3/\sqrt{2}\)
Primero quiero estar seguro de haber hecho bien las cosas y alguién podría darme un indicio aunque sea de como resolver el 2??
Muchas gracias,
Saludos!
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