Tema
sea\(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) una funcion diferenciable cuyo plano tangente en (1,0) viene dado por la ecuación \(2x-y-z=1\). Sea define la funcion \(g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) como
Hallar la ecuación del plano tangente al gráfico de g en el punto (1,0)
"if people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicate life is"
alguien que me pueda tirar una idea??
Idea:
Lo que necesitas saber de \(g\) es cuánto valen las derivadas parciales de \(g\) en el \((1,0)\) y cuánto es \(g(1,0)\).
Con la ecuación del plano de \(f\), podés obtener las derivadas parciales en el \((1,0)\) y \(f(1,0)\).
Querés algo de la pinta \(a(x-1)+by+c=z\), con \(a\) y \(b\) derivadas parciales y \(c=f(1,0)\).
Después derivás \(g\) con la regla de la cadena, evaluás las derivadas parciales de \(f\) que te queden dando vuelta en el \((1,0)\) y creo que debería salir...
Alguien puede terminar este por favor 😄? No se me ocurre como concluirlo, necesito saber como sacar f(1,0) y f'(1,0) de la ecuacion del plano tangente en (0,1).
Gracias!!!!
Creo que es algo asi:
y dice....
Tenés que el plano tangente de \(f\) en \((1,0)\) es : \(Z_{tg_{f(1,0)}}=2x-y-1\)
Entonces de acá sacás que
Luego, evaluas \(g\) en \((1,0)\) y te queda:
Usando regla de la cadena derivas \(g\) con respecto a \(x\) e \(y\)
Esto es:
y
Pero:
y
No son otra cosa que el gradiente de \(f\) con un cambio de variables....
Entonces te queda que:
Si no me equivoque en las cuentas, el plano tangente a \(g\) en \((1,0)\) deberia ser:
o lo que es lo mismo:
Fijate que evaluandolo en \((1,0)\) te da \(1\) !! (Es medio obvio pero bueno)
Saludos...
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
Perdon por joder, pero no me queda claro aca:
KillSchrodingerCat escribió:
Pero:
$$\frac{\partial f}{\partial f(x,y)}$$y
$$\frac{\partial f}{\partial {(xy +y^2)}}$$No son otra cosa que el gradiente de \(f\) con un cambio de variables....
Porque son el gradiente de f?
blue escribió:
Perdon por joder, pero no me queda claro aca:
KillSchrodingerCat escribió:
Pero:
$$\frac{\partial f}{\partial f(x,y)}$$y
$$\frac{\partial f}{\partial {(xy +y^2)}}$$No son otra cosa que el gradiente de \(f\) con un cambio de variables....
Porque son el gradiente de f?
Es la regla de la cadena... Acordate que cuando tenes \(F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y))\) la regla de la cadena a lo cabeza, no es otra cosa que lo que yo hice. Pero podés pensar a \(\frac{\partial F}{\partial x} directamente como "La derivada de [tex]f\) respecto a su primer variable (\(x\)) multiplicada por la derivada de \(g\) respecto de \(x\), etc..."
En la práctica lo vas a ver con un ejemplito onda este:
Usando la regla de la cadena te queda que:
\(\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot{\frac{\partial u}{\partial x}}=2u\cdot{2x}\hspace{5pt}$donde\hspace{5pt}$2u\hspace{5pt}$es\hspace{5pt}la\hspace{5pt}derivada\hspace{5pt}parcial\hspace{5pt}con\hspace{5pt}respecto\hspace{5pt}a\hspace{5pt}la\hspace{5pt}primer\hspace{5pt}variable.\hspace{5pt}Reemplazando\hspace{5pt}$ u\hspace{5pt}$te\hspace{5pt} queda\hspace{5pt}$(2x^{2}+2)2x\hspace{5pt}\text{Te invito a que lo hagas sustituyendo.}\)
No se si es del todo explicativo, pero lo intenté. Cualquier cosa preguntá 😛
Lo que intenté decir fue que en:
\(f(x,y)\) es ahora la primer variable. Esto es, \(u=f(x,y)\). Te das cuenta de que \(u\) es una función que depende de \(x\) e \(y\) aunque no hubiese sido justo \(f\). Por ejemplo este caso:
No me queda claro despues que haces lo que dijiste del gradiente, como llegas a que valor toma cada uno para hacer:
KillSchrodingerCat escribió:
Pero:
$$\frac{\partial f}{\partial f(x,y)}$$y
$$\frac{\partial f}{\partial {(xy +y^2)}}$$No son otra cosa que el gradiente de \(f\) con un cambio de variables....
Entonces te queda que:
$$\frac{\partial g}{\partial x}(1,0)=4$$$$\frac{\partial g}{\partial y}(1,0)=-3$$
De donde sacas el valor que tiene que tener \(\frac{\partial f}{\partial f(x,y)}\) y \(\frac{\partial f}{\partial {(xy +y^2)}}\)
El gradiente ya sabes cuanto vale del plano tangente que es dato....
Despues de verlo un largo rato con fuerza, ya pude sacar lo que decias. Muchas gracias! y perdon por la insistencia.
No es nada...
