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[Resuelto] 05/10/2013 - Tema D - 1er P

1 respuestas 8366 visitas 2013-10-16

#1 codingTornado 2013-10-16 02:45

Estoy con poco tiempo así que voy a subir(rápido) solo los ejercicios, mañana con más tiempo agrego la resolución.

Ejercicio 1. Dado \(c > 0\), se define la siguiente sucesión por recurrencia:

\begin{cases} a_1 = c \\ a_{n+1} = \frac{1}{4} + a_n^2 \end{cases}

a) Probar que \((a_n)_n\) es una sucesión creciente.
b) Verificar que si la sucesión \((a_n)_n\) es convergente, entonces converge a \(l = \frac{1}{2}\). Probar que para todo \(0 < c \leq \frac{1}{2}\), la sucesión \((a_n)_n\) es convergente.

Ejercicio 2. Determinar si existe un valor de \(\mathbf{a} \in \mathbb{R}\) tal que la siguiente función sea continua en \((2,-4)\). Si la respuesta es afirmativa, demostrar que \(g\) es continua en \((2,-4)\):

g(x,y) = \begin{cases} \frac{(xy + 4x - 2y - 8)\sin(x-2)}{(x-2)^2|y+2| + (y+4)^2} & \text{si } (x,y) \neq (2,-4) \\ \mathbf{a} & \text{si } (x,y) = (2,-4) \end{cases}

Ejercicio 3. Sea \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) dada por

g(x,y) = \begin{cases} \frac{2x^3 + 5x^4(y-1)^4 - 4(y-1)^3}{x^2 + (y-1)^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,1) \\ 0 & \text{si } (x,y) = (0,1) \end{cases}

a) Analizar la diferenciabilidad en \((0,1)\) de la funcion \(f\). b) Para cada \(v \in \mathbb{R}^2, \|v\| = 1\), calcular la derivada direccional \(\frac{\partial f}{\partial v}(0,1)\).

Ejercicio 4. Sean \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\),

f(x,y) = (e^{x^2 + 3y}- \cos(y+3) + 1, 2xy - \tan(x-3) + 4x)

y \(g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) una función diferenciable tal que \(g(1,-6) = -3\) y las derivadas direccionales

\(\frac{\partial g}{\partial v}(1,-6) = -\frac{3}{5} \text{ si } v = (-\frac{4}{5}, \frac{3}{5})\)[/*:m]
\(\frac{\partial g}{\partial w}(1,-6) = -\frac{\sqrt{2}}{3} \text{ si } w = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})\)[/*:m]

a) Calcular el gradiente de \(g\) en el punto \((1,-6)\).
b) Obtener la ecuación del plano tangente al gráfico de \(g \circ f\) en el punto \((3, -3, g \circ f(3, -3))\).

Firma

Me dicen loco, pero somos los locos los que hacemos algo del mundo

#2 codingTornado 2013-10-17 03:04

Ejercicio 4.a:\(g\) es diferenciable, luego existen todas las derivadas direccionales en \((x,y) \in \mathbb{R}^2\), en particular en \((1,-6)\) y vale que \(\frac{\partial g}{\partial v_0}(1,-6) = \langle \nabla g(1,-6), \, v_0 \rangle\) (con \(v_0 \in \mathbb{R}, \, \|v_0\| = 1\))

Como vale \(\|v\|^2 = \left\| \left( -\frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right) \right\|^2 = 1 \Rightarrow \|v\| = 1\) y vale \(\|w\|^2 = \left\| \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right\|^2 = 1 \Rightarrow \|w\| = 1\), entonces puedo usar esa propiedad.

\Rightarrow \frac{\partial g}{\partial v}(1,-6) = -\frac{3}{5} = \left\langle \nabla g(1,-6), \, \left( -\frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right) \right\rangle \iff -\frac{3}{5} = \frac{\partial g}{\partial x}(1,-6)\left( -\frac{4}{5} \right) + \frac{\partial g}{\partial y}(1,-6)\frac{3}{5} \iff -3 = 3\frac{\partial g}{\partial y}(1,-6) - 4\frac{\partial g}{\partial x}(1,-6)

\iff 3\frac{\partial g}{\partial y}(1,-6) = 4\frac{\partial g}{\partial x}(1,-6) - 3 \iff \boxed{\frac{\partial g}{\partial y}(1,-6) = \frac{4}{3}\frac{\partial g}{\partial x}(1,-6) - 1}

\((1)\)

\Rightarrow \frac{\partial g}{\partial w}(1,-6) = \frac{\sqrt{2}}{3} = \left\langle \nabla g(1,-6), \, \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right\rangle \iff \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{\partial g}{\partial x}(1,-6)\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\partial g}{\partial y}(1,-6)\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \iff \frac{2}{3} = \frac{\partial g}{\partial x}(1,-6) - \frac{\partial g}{\partial y}(1,-6)

= \frac{2}{3} = \frac{\partial g}{\partial x}(1,-6) - \left( \frac{4}{3}\frac{\partial g}{\partial x}(1,-6) - 1 \right) \text{ por } (1)

\Rightarrow \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}\frac{\partial g}{\partial x}(1,-6) + 1 \iff -\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}\frac{\partial g}{\partial x}(1,-6) \Rightarrow \begin{cases} \frac{\partial g}{\partial x}(1,-6) = 1 \\ \frac{\partial g}{\partial y}(1,-6) = \frac{1}{3} \end{cases}

\(\therefore \nabla g(1,-6) = \left( 1,\, \frac{1}{3} \right)\)

Ejercicio 4.b:
Sea \(\Pi\) el plano tangente a \(g \circ f(3,-3) \Rightarrow \Pi(x,y) = g \circ f(3,-3) + \langle \nabla(g \circ f)(3,-3), (x-3, y+3) \rangle\)

Se tiene que \(g \circ f(3,-3) = g(f(3,-3)) = g(e^{3^2 + 3(-3)}- \cos((-3)+3) + 1, 2.3(-3) - \tan(3-3) + 4.3) = g(1, -6) = -3\)
Además, por la regla de la cadena, se tiene que \(\nabla(g \cric f)(3,-3) = \nabla(g(f(3,-3)).Df(3,-3) = \nabla(g(1,-6).Df(3,-3)\)

Df(3,-3) = \left( \begin{array} \nabla f_1(3,-3) \\ \nabla f_2(3,-3) \end{array} \right)

\nabla f_1(3,-3) = \left .(e^{x^2 + 3y}.2x, \, e^{x^2 + 3y}.3 + \sin(y+3)) \right|_{(3,-3)} = (6,3)

\frac{\partial f_2}{\partial y}(3,-3) = \left . 2x \right|_{(3,-3)} = 6

\frac{\partial f_2}{\partial x}(3,-3) = \lim_{h \to 0} \frac{f_2(3+h,-3) - f_2(3,-3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(2.(-3)(3+h) - \tan(3+h-3) + 4(3+h)) - (-6)}{h}

\lim_{h \to 0} \frac{(2.(-3)(3+h) - \tan(3+h-3) + 4(3+h)) - (-6)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-6h - \tan(h) + 4h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-2h - \tan(h)}{h} = \lim_{h \to 0} -2 - \frac{\tan(h)}{h} = \lim_{h \to 0} -2 - \underbrace{ \frac{\sin(h)}{h} }_{\to 1}.\underbrace{ \frac{1}{\cos(h)} }_{\to 1} = -3

\therefore Df(3,-3) = \left( \begin{matrix} 6 & 3 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right) \Rightarrow \nabla(g \circ f)(3,-3) = (1, \frac{1}{3})\left( \begin{matrix} 6 & 3 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right) = (5,5)

\(\Rightarrow \Pi(x,y) = -3 + \langle (5,5), (x-3, y+3) \rangle = \boxed{ -3 + 5(x-3) + 5(y+3)}\)

A medida que voy teniendo tiempo voy a ir editando el post agregando los demás