Sea \(g(x,y)= e^{xy-1} - \frac{1}{2} . x^2 - \frac{1}{2} . y^2\)
a) Hallar todos los puntos criticos de g y definir si son maximos locales, minimos locales o puntos silla.
b) Hallar los maximos y minimos absolutos de g restringida a un circulo de radio \(2^{1/2}\)
Sea \(f(x,y,z)=x^2 + y^2 + z^3\). Demostrar que \(f(x,y,z)=2\) define una funcion implicita \(x= \phi (y,z)\) en un entorno de \((1,1,0)\). Calcular la ecuacion del plano tangente al grafico de \(\phi\) en el punto \((1,1,0)\). Usando el item anterior, calcular \(\lim_{t \to 1} \frac{\phi (t,t^3-1)-t} {t^2-1}\)
Analizar la convergencia de \(\int_0^\infty \frac{1} {x^{1/5}+ \pi . x^4} dx\)
Sea \(\int_{-2}^2 t.h(t) dt = 4\) y sea \(R \ la \ region \ entre \ las \ rectas \ x+y=2 ; x+y = 7 ; x-y=-2 ; x-y=2\). Calcular el area de R. Calcular \(\iint_R (x^2 - y^2).h(x-y) dxdy\)
Cuando me lo devuelvan subo el otro, porque no me lo acuerdo. El primero me quedo y=x en los puntos criticos y analice siendo mayores o menores a 1. El tercero es bastante facil y converge (se ve facilmente, si quieren despues lo subo)
Si, pero si igualas los dos gradientes y tomas factor comun te queda que x=y, el caso y=-x no sirve. Proba reemplazando en alguna ecuacion con ese caso y vas a ver que te da un absurdo. Me olvide de decir que el (0,0) es punto silla. Sale facil usando el criterio de la matriz hessiana
la parte 2 es facil, haces una parametrizacion
usas \(\alpha (t) = (\sqrt{2} cos(t) , \sqrt{2}sin(t))\)
y ahora sacas los maximos como si fuese una funcion de una variable
No lo puedo ni arrancar. No se con que paramatreziar. Es mas, lo que hice en el priemro fue ver q era un rectangulo y hacer base por altura y me lo puso mal. Como lo hago?
Ahi subi el segundo ejercicio. La primera parte te queda el plano x=2-y. La segunda, la del limite, no se hacerla. Si alguien sabe que lo diga por favor. El 4 sigo sin poder hacerlo.
Primero a sacar el area de R.
Eso es \(\int \int 1 dX dY\) . Tenemos que hacer una transformacion lineal. Decimos que las lineas que limitan a R van a ser constanstes para mediante la TL transfomar el cuadrado torcido en uno mas practico. Asumimos X+Y=V ; e X-Y=V . Esto nos dice que el cuadrado resultante va a estar contenido entre los valores que alcanzan u y v. Eso nos permitio sacar la transformacion lineal que manda de (X,Y) \(\rightarrow\) a (U,V). Pero para sacar el jacobiano necesitamos la TL que manda (U,V) \(\rightarrow\) a (X,Y). Usamos un poco el algebra para sacarlo y nos queda X=(U+V)/2 e Y=(U-V)/2 .
Sacamos el jacobiano que es
. Acordate que el jacobiano es la derivada de U en x, la derivada de U en Y; la derivada de V en X, la derivada de V en Y.
El determinante nos da -1/2, y metemos el modulo en la integracion que queda asi: