\(1)\)Sea R la region de los puntos del semicirculo de radio 5 con centro en (0,0) que se encuentran por debajo de la recta y=2x. hallar los maximos y minimos absolutos de \(f(x,y)=x^2-2y^2-8x \ en \ R\)
\(2)\)Sea \(F: R^2 -> R^2\) tal que \(F(x,y) = (x^3.e^{x-1}.y+xy , e^{x^2 -1}.y^4 + x^5)\)
a) Demostrar que existe un entorno \(U \subset R^2\) del (1,0), en un entorno \(V \subset R^2\) del (0,1) y una inversa \(F^{-1}:V->U \ de \ clase \ C^1 \ tal \ que \ F^{-1}(0,1)=(1,0).\)
b) Sea \(h: R^2 -> R\) diferenciable tal que la ecuacion del plano tangente al grafico de h en el punto (1,0,h(1,0)) es \(z=3-2x+10y\) Hallar el plano tangente al grafico de \(h o F^{-1}\) en el punto (0,1,1)
\(3)\) Analizar la convergencia de la integral imporpia
(4,0) en el interior de R sale de igualar el gradiente de f a cero
*(-8/14,-16/14) parametrizo f(x,2x) derivas e igualas a cero
[4/3, (209^1/2)/3] y [4/3, -(209^1/2)/3] sale de Lagrange con lambda = -2
*(5,0)(raiz de cinco, 2 raiz de cinco) y (-raiz de cinco, -2 raiz de cinco)
ahora queda reemplazar para los maximos y minimos absolutos .(el primer punto encontrado por el criterio del hessiano me da que es silla no se si vale)
la parametrizaciones basicamente escribir una coordenada en funcion de la otra en esta caso y=2x entonces es f(x,2x) la derivas para calcular el gradiente y lo igualas a cero, tambien podria haber sido y/2=x, en ese caso seria f(y/2,y)
si no hice mal las cuentas pertenece a la regon los puntos que te dije ahora reviso
Gracias. El que yo digo que no pertenece a la region es el de raiz de 209, porque es el unico que pude hacer en el parcial y me puso que no pertenecia a la region. Si te fijas la y te queda cerca de 4.8 y te pasas del circulo por muy poquito, ademas tenes que tener en cuenta a la recta que te corta el circulo. El 2a) es simplemente mostrar que cumple con las condiciones del teorema (c1, dif, etc)?
Una consulta sobre la resolución del problema 4: ¿por qué se integra entre 0 y 2 pi si no piden la elipse completa sino una parte?. Yo consideré entre pi/2 y pi
Los puntos para lamba -2 no pertenecen al conjunto R.
El (5,0) sale parametrizando el semicírculo y los puntos con raiz de cinco y menos raiz de cinco se consideran porque los vértices son puntos críticos.
Perdón pero no se manejar el latex
El 3r sale de cambiar un poco el jacobiano de la TL a lo siguiente
$$\begin{bmatrix} 3 cos (\theta ) & -3r sen (\theta ) \\ sen(\theta) & rcos(\theta) \end{bmatrix}$$
para adecuar la transformación al estiramiento de la elipse. El determinante de todo eso es \(3r(cos(\theta))^2+3r(sen(\theta))^2 = 3r\). El flaco hiso directamente un toque en el \(x=3rcos(\theta)\), lo cual tiene todo el sentido del mundo... le faltó arreglar el determinante del jacobiano nomás
y también
$$0\leq r\leq 1$$
$$\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi$$
no estas integrando toda la elipse, solo ese pedazo
Yo también rindo el recuperatorio mañana.. y te soy sincero, era un parcial fácil este.. no lo aprobé por pelotudo, me taré haciendo el primero y no me di cuenta de un par de cosas... el 2 lo tenia bien. Alta bronca, malditos nervios, te matan las 4 hs ahí adentro limando
Gracias Juancho. Lo que me jode a mi son las horas acumuladas que me llenan las pelotas, jaja. Sueño con ecuaciones ya. Voy a morir en cualquier momento, y eso que recien empiezo. Suerte mañana
Para el 2)
a) Usar el teorema de la función inversa
b) Usar el ítem a) y la regla de la cadena en la función \(g:{\mathbb{R}}^{2}\rightarrow \mathbb{R},\, g=ho{F}^{-1}\)
Creo que ahi lo entendi. Se que un plano tangente a un grafico esta dado por f(p)+fx(p)(x-x0)+fy(p)(y-y0)=z. Entonces usando eso saco hx(1,0) y hy(1,0) de la ecuacion del problema. Despues usando eso calculo F^-1(0,1) que es (1,0) y busco el gradiente de h en ese punto (Calcule a F inversa en ese punto porque lo pide el problema). Despues usando que hoF^-1(0,1)=1 me quedo que el plano tangente es: z=-2x+10y-9. Por favor que alguien me diga si esta masomenos bien lo que hice. Gracias por todo.
Tenés que derivar la función \(ho{F}^{-1}\) y sacar el plano tangente al punto que te piden. Es lo mismo que hacías en la práctica de diferenciación, solo que acá vas a tener que usar la regla de la cadena y el teorema de la función inversa para conocer la derivada de \({F}^{-1}\). No hice las cuentas, pero si lo calculaste así seguramente esté bien.
Para el 4) tenés que hacer un cambio de variables conveniente (en polares) y seguramente llegues a que el radio está entre 0 y 1. Si hacés un dibujito de la región te vas a dar cuenta (un cuarto de elipse en el primer cuadrante)
Por eso, te queda un pedazo de elipse en el 2 cuadrante. Com sacas el radio de eso si x va a estar entre 0 y -3 e y entre 0 y 1? El de implicita lo entendi perfecto gracias
Hola, inkosoft el resultado al que llegaste en el 2-b) no esta bien, te tiene que quedar z=1+5x-2/5(y-1)
ya que el gradiente compuesto te queda ∇h(F^(-1) (0,1) )=(5,-2/5). Fíjate por ahí es solo una cuenta mal hecha.
Como te dije, el cambio tiene que ser "conveniente". No sé si lo vieron en la práctica o teórica, pero supongo que en algún lado lo mencionaron: cuando querés hacer cambios de variable, necesitás "preferentemente" una transformación lineal biyectiva \({C}^{1}\) con inversa continua , y después vieron que el cambio de coordenadas cartesianas a polares también servía (en realidad el teorema general te pide que sea un Difeomorfismo) La idea es que también podés componer estas funciones, o sea, ponele que tenés dos transformaciones lineales \(F:A\rightarrow B \, , \, G:B\rightarrow C\) ambas biyectivas, \({C}^{1}\) con inversa continua. Si tenés que integrar sobre un dominio C, entonces la transformación lineal \(GoF:A\rightarrow C\) te va a servir para el cambio de variable y vas a terminar integrando sobre A.
¿Cómo se aplica esto al problema? Es muy simple: si tenés una elipse en vez de un círculo, mediante una transformación lineal la podés hacer un círculo. Después aplicás coordenadas polares al círculo y tenés tu dominio en un rectángulo. Entonces componés estas dos y transformaste tu dominio que era una elipse a un rectángulo.
Ahora vos pensá cómo te funciona esto para el problema, sabiendo que el dominio es como una "cuarta parte" de una elipse.
(Capaz parece más complicado de entenderlo así leyendo, pero la idea de componer transformaciones está buena para el cambio de variable porque es como que lo vas llevando de a poco a las cosas que ya conocés)
con respecto al 4) (X/3)^2+y^2<= 1 con coordenadas polares haces
(x/3)= r cos(θ) --> x=3r cos(θ)
y= r sen(θ)----> y= r sen(θ) luego calcula el modulo del jacobiano te da "3r"
θ sabes de donde a donde va. Para ver de donde a donde va r
reemplaza x e y en la 1° ecuación de arriba, reemplazando te sobrevive "(r^2)<=1" ya que la suma de sen y cos da 1,
luego sabemos que r>0 y r<1 -----> 0<r<1 reemplaza todo esto en la integral, te que da una mas simple y calculo. listo.
yo cuando lo hice, pensé que estaba acotando mal r, xq al ver el grafico de la elipse va cambiando el radio pero esto se arregla con el jacobiano, ya que te dice que la nueva área en la cual estas integrando es igual a la anterior.
