Bueno aca va un tema, supongo que habia otrosa pero deben ser parecidos. Agradezco cualquier correccion de consigna como de resolucion.
Sean \(f,g:{\mathbb{R}}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\) dos funciones diferenciables en \(({x}_{0},{y}_{0})\) tal que los planos tangentes a ambos graficos en \(({x}_{0},{y}_{0})\) coinciden. Probar que \(\lim_{(x,y) \rightarrow ({x}_{0},{y}_{0})} \frac{|f(x,y)-g(x,y)|}{||(x-{x}_{0},y-{y}_{0})||}=0\)
Dado que los planos tangentes coinciden, se deduce que \(\bigtriangledown f({x}_{0},{y}_{0}) = \bigtriangledown g({x}_{0},{y}_{0})\) y \(f({x}_{0},{y}_{0}) = g({x}_{0},{y}_{0})\). Luego como g es diferenciable puiedo escribir a g como su polinomio de taylor de grado 1 en \(({x}_{0},{y}_{0})\) mas el resto. O sea \(g(a+h)=g(a)+ \bigtriangledown g(a)*h+R(h)\), siendo para escribir menos \(a=({x}_{0},{y}_{0})\), \(h=(x-{x}_{0},y-{y}_{0})\). Si reemplazamos por lo primero que dijimos, nos queda \(g(a+h)=f(a)+ \bigtriangledown f(a)*h+R(h)\). Entonces queremos saber si \(\lim_{h \rightarrow 0} \frac{|f(a+h)-f(a)- \bigtriangledown f(a)*h-R(h)|}{||h||}=0\), o sea si \(\forall \epsilon >0\), \(\exists \delta>0:0<||h||< \delta \Rightarrow \frac{|f(a+h)-f(a)- \bigtriangledown f(a)*h-R(h)|}{||h||} < \epsilon\). Como \(\frac{|f(a+h)-f(a)- \bigtriangledown f(a)*h-R(h)|}{||h||}\) \(\leq \frac{|f(a+h)-f(a)- \bigtriangledown f(a)*h|}{||h||}+ \frac{|R(h)|}{||h||}\). Como f es diferenciable, sabemos que \(\forall {\epsilon}_{1}>0\), \(\exists { \delta}_{1}:0<||h||<{\delta}_{1} \Rightarrow \frac{|f(a+h)-f(a)- \bigtriangledown f(a)*h|}{||h||}<{\epsilon}_{1}\). Y por propiedades del resto del taylor sabemos que \(\lim_{h \rightarrow 0} \frac{|R(h)|}{||h||}=0\). O sea que \(\forall {\epsilon}_{2}>0\), \(\exists { \delta}_{2}:0<||h||<{\delta}_{2} \Rightarrow \frac{|R(h)|}{||h||}< {\epsilon}_{2}\). Entonces si tomamos \(\delta = min\{{ \delta}_{1},{ \delta}_{2}\}\), \(\frac{|f(a+h)-f(a)- \bigtriangledown f(a)*h|}{||h||}+ \frac{|R(h)|}{||h||} < {\epsilon}_{1} + {\epsilon}_{2}< \epsilon\). O sea que si hacen todo al reves se deduce que el limite nos da 0.
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Sea \(f:{\mathbb{R}}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\) una funcion diferenciable, \({f}_{x}(t,t)={f}_{y}(t,t)=0, \forall t \in \mathbb{R}\) y \(g(x,y)=f(f(x,y),f(x,y))\). Probar que \(Dg(x,y)=0, \forall (x,y) \in {\mathbb{R}}^{2}\) y que g es constante.
Tomo \(h(x,y)=(f(x,y),f(x,y)\). Entonces
. Como \({f}_{x}(f(x,y),f(x,y))={f}_{x}(t,t)=0\), y lo mismo con \({f}_{y}\), entonces el primer factor nos queda como un vector nulo y toda la cuenta da 0. O sea \(Dg(x,y)=0\). Bien ahora por el teorema del valor medio para mas de una variable, para cualquier \(a,b \in {\mathbb{R}}^{2}, \exists c \in [a,b] : \frac{g(b)-g(a)}{b-a}=Dg(c)\). Pero \(Dg(x,y)=0 \Rightarrow \frac{g(b)-g(a)}{b-a}=0 \Rightarrow g(b)-g(a)=0 \Rightarrow g(b)=g(a)\). Y en el caso \(a=b\) es claro que \(g(a)=g(b)\). Entonces \(g(a)=g(b), \forall a,b \in {\mathbb{R}}^{2}\)
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Sea \(f=(x+y){e}^{x+y}\). Encontrar y clasificar todos los extremos absolutos de f.
Bien, como la funcion es recontradiferenciable por producto de funciones diferenciables, \(\bigtriangledown g(x,y)=({e}^{x+y}(x+y+1),{e}^{x+y}(x+y+1))\) y vemos que \(\bigtriangledown g(x,y)=0 \Leftrightarrow y=-x-1\). Entonces todos los puntos que pertenecen a esta recta son nuestros candidatos a extremos. Comno el hessiano (ni me gasto en ponerlo) da 0 en estos puntos, vamos a tener que hacerlo a la antigua... un garron no? jeje. Suponiendo que estos puntos son minimos (si quieren pueden probar primero con maximos pero yo porque ya se el resultado no XD) tenemos que probar que \(f(x,y)<f(x,-x-1)=\frac{-1}{e}, \forall (x,y) \in \mathbb{R}}^{2}\). tomando \(x+y = u\) tenemos que \(f(x,y)=g(u)=u{e}^{u}\). Como vemos que u es archirecontrahiperdiferenciable tenemos que \(g'(u)={e}^{u}(x+1)\). Asi que \({u}_{0}=-1\) es el unico extremo de g. Luego como Esta ultima funcion tambien es diferenciable conseguimos \(g''(u)={e}^{u}(x+2)\) y \(g''(-1)=\frac{1}{e}>0\). Entonces por el criterio de la segunda derivada \({u}_{0}\) es un minimo. Como \(\lim_{u \rightarrow -\infty}u{e}^{u}=0\) y \(\lim_{u \rightarrow \infty}u{e}^{u}=\infty\) y \(g\) es continua, \({u}_{0}\) resulta ser un minimo absoluto, en algun final anterior esta como probarlo, pero no creo que haga falta, suena bastante logico. O sea, reemplazando en nuestra funcion original, todos los puntos de la recta antes mencionada son minimos absolutos de \(f\). Perdon no quiero volver a escribir todo 😄
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Sea f continua en (a,b) y sea \(F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\). Probar que F es derivable en (a,b) y \(F'(x)=f(x), \forall x \in (a,b)\).
F es derivable si \(\exists \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F'(c+h)-F(c)}{h}\). \(F'(c+h)-F(c) = \int_{a}^{c+h}f(t)dt - \int_{a}^{c}f(t)dt\)=\(\int_{a}^{c}f(t)dt + \int_{c}^{c+h}f(t)dt - \int_{a}^{c}f(t)dt = \int_{c}^{c+h}f(t)dt\). Por el teorema del valor medio para integrales (eso existe o me lo invente?) \(\exists d \in [c,c+h]: \int_{c}^{c+h}f(t)dt = hf(d)\). Entonces el limite anterior queda \(\lim_{h \rightarrow 0} \frac{hf(d)}{h} = f(d)\) que existe porque f es continua en (a,b), en particular en d. Entonces F es diferenciable en (a,b). y \(c \leq d \leq c+h\). Entonces cuando h tiende a 0 nos queda que \(d=c\). Entonces F es diferenciable en (a,b) y \(F'(x)=f(x), \forall x \in (a,b)\)
Por favor corrijanme jajaja.[/*:m]
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Hay 10 tipos de personas en el mundo. Los que entienden binario, y los que no...
En el 1 te la re complicaste usando Taylor, bah yo lo hice de otra forma y creo que está bien..
Usé que f y g son diferenciables, entonces el limite para ver si es diferenciable da 0 para ambas.. después resté esos dos límites, lo que sigue dando O, y tomé el límite de la resta.. así llegas a lo que te piden sin el módulo.. pero si hacés la definición de límite con el epsilon y el delta se nota que si se cumple sin módulo, también se cumple con módulo, y listo..
Que se yo, fue lo primero que me vino a la cabeza, no se me hubiera ocurrido ahcerlo con Taylor creo..
en el primero lo que hice yo fue sumar y restarle dentro del modulo el plano de g y f, que se mantiene la igualdad, y si distribuis la norma de abajo, y haces desigualdad triangular, te queda el limite diferencial de f y el limite diferencial de g... los acote por respectivos \({\epsilon}_{1},{\epsilon}_{2}\) por que sabes que f y g son diferenciables y pido mi \(\epsilon=\epsilon}_{1}+{\epsilon}_{2}\) entonces existe el límite por definición que pedían... alguien lo hizo asi?
Eso básicamente es lo mismo que hice yo, pero al revés ajja.. Vos empezaste por donde yo terminé, y viceversa.. Pensé en hacerlo así primero, pero no sé, después me surgió la otra idea y me pareció que era menos engorrosa de escribir jaja
uh era buena jeje. pero los limites diferenciales no los acotas en modulo? como los restaste entonces? creo que empece a probar por ese lado y por eso lo deje... si nunca se me ocurre eso de sumar y restar lo mismo 😕
Yo resté el limite de uno menos el otro (limites de diferenciabilidad de f y g en el punto) como cada uno era 0...en particular el lim existe,entonces se puede hacer la resta sin problemas con los modulos...
Los planos tangentes se cancelan y t queda lo pedido...
tambien se podia reemplazar adentro,creo q yo lo hice d las 2 maneras a la vez,jejeje
no probé con lo de epsilon,me pareció al dope...igual tmb salia con eso
Yo lo terminé haciendo con epsilon, aunque se me había ocurrido hacerlo como lo hiciste vos, porque me quería probar a mi mismo que estaba bien lo que hice jajaj.. sí, soy un obsesivo..
Una pregunta... en el problema 3, definis \(f(x,y)=g(u)=u{e}^{u}\) y estudias los extremos en g para ver los extremos de f, pero yo tenia entendido que eso valia solamente si g era estrictamente creciente..¿? please corrijanme si me equivoco.. mmm me parece que me estoy confundiendo con otra cosa, creo que lo de estrictamente creciente era para estudiar extremos en \(u=x+y\)... no se mi cabeza no da para mas...
Yo solo quiero hacer un comentario; la función \(h\eq=f-g\) es diferenciable en \(({x}_{0},{y}_{0})\eq=X\) por ser diferencia de funciones diferenciables. Como coinciden los planos tangentes de las funciones, resulta que \(\nabla f(X)\eq=\nabla g(X)\) y \(f(X)\eq=g(X)\). Como es diferenciable, el límite \(\lim_{Y\rightarrow X}\frac{|h(Y)-h(X)-<\nabla h(X),Y-X>|}{||Y-X||}\eq=0\). Puesto que \(h(X)\eq=<\nabla h(X),Y-X>\eq=0\) por ser los planos tangentes iguales, queda \(\lim_{Y\rightarrow X}\frac{|h(Y)|}{||Y-X||}\eq=0\), y recordando que \(h(Y)\eq=f(Y)-g(Y)\), tienen \(\lim_{Y\rightarrow X}\frac{|f(Y)-g(Y)|}{||Y-X||}\eq=0\), lo que se quería probar, y de manera ''elegante''(en broma). No se por qué se la rebuscaron tanto(justo lo digo yo...). Espero haber contribuído. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Como todo número real \(r\) satisface que existen \(x,y\) tales que \(x+y\eq=r\), se puede estudiar la función reemplazando \(r\). Después que probaste que tiene mínimo absoluto la función en una variable, \({y}_{0}\), resulta que extendés a \(x+y\eq={y}_{0}\), y tenés los mínimos absolutos de la función. Ayer había un ejercicio planteado parecido... creo que era \(\frac{\ln(x+y)}{x+y}\) y se usó la misma estrategia. Espero haber contestado la pregunta. Saludos.
Grande Exequiel!!! YO también lo hice así, ahora me quedo más tranquilo porque al menos alguien lo pensó como yo ...
Una duda con el ejercicio 3b, algunos lo pensaron con lagrange pero yo lo hice así, esta bien?
Como \({g}_{x}=0,{g}_{y}=0\) entonces integrando la primera respecto de la variable x obtengo que \(g(x,y)=k+W(y)\) siendo W una función de la variable y y k una constante real. Luego derivo esto con respecto a y y obtengo : \({g}_{y}=0+{W}_{y}(y)\) comparando con la otra derivada tengo que \({W}_{y}(y)=0\Rightarrow\ W(y)=q\) siendo q una constante real. Luego reemplazo W y me queda que \(g(x,y)=k+q\) es decir que g es constante.
Si bueno perdon lo hice de memoria, igual derivable es un caso particular de diferenciable que se da cuando trabajas con una funcion \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\). Ay marce sos un animal, y yo haciendo tremendo lio con el taylor. muy limpia esa demostracion. me quiero arrancar todos los pelos jajaja.
Jaja! Exe! me aliviaste mucho... Yo tambien pensé el ejercicio 1 con una funcion h(x,y)= f(x,y) - g(x,y). Pasá que en un principio había empezado a restar los dos límites de diferenciabilidad, pero me quedé trabado en un punto. Entonces se me ocurrió eso, pero al verla tan sencilla, después me agarró la duda de que estuviera mal resuelto.
Hola, que tal?
Una pregunta con respecto al problema 3. Se puede hacer eso de tomar \(x + y=t\) y analizar la funcion de una variable sin tener ningun tipo de cuidado. Es decir, vale siempre?
Otra cosita, como determino si esos extremos encontrados son o no absolutos?
Es que si para \(f(x+y)\) diferenciable, hacés \(x+y\eq=t\), la función \(x+y\) es lineal, con lo que su diferencial es una transformación lineal con coeficientes constantes. O sea, en definitiva, por la regla de la cadena, te queda de no perdés nada de información(siempre derivando en los entornos que se puede, etc...)