Final 5/08/14

1. Enunciar y probar el Teorema Fundamental del Cálculo Integral.
2. Sea \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) de clase \(C^1\), tal que el plano tangente al gráfico de \(f\) en \((1, 0, f(1,0))\) está dado por \(z - 4x + 2y = 1\). Sea \(g:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) dada por \(g(x,y) = f(e^{x^2+y},sen(2xy)).\) Hallar la dirección de mayor crecimiento de \(g\) en \((0,0).\)
   3)Sea \(L\) una recta de \(\mathbb{R}^3\) y sea \(f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}\) una función de clase \(C^1\) tal que \(f(P)=0 \Leftrightarrow P \in L.\) Probar que \(\forall P \in L, \nabla f(P) = 0.\)
   4)a) Sea \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) tal que \(f\) es diferenciable en \(P \in\mathbb{R}^2.\) Probar que \(f\) es continua en \(P\) y que existen todas las derivadas direccionales de \(f\) en \(P.\)
   b) Encontrar una función \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) tal que \(f\) es continua en \((0,0)\), existen todas las derivadas parciales de \(f\) en \((0,0)\), pero \(f\) no es diferenciable en \((0,0).\)

Alguno me puede encaminar un poco con el 3?

Fijate de probar que los puntos de la recta son un extremo. Como \(f(p) = 0\) para todo p en la recta (por hipótesis), entonces buscá probar que todo el resto de la función o es positiva para todo punto o es negativa para todo punto. ¿Qué podría pasar si existe \(p_1\) y \(p_2\) fuera de L tal que \(f(p_1) < 0\) y \(f(p_2) > 0\)?

Gracias Matyz! Pense lo siguiente:
Si yo saco a la recta L del dominio de f, entonces el conjunto seguiría siendo arcoconexo. Agarro dos puntos cualquiera como me dijiste vos, tales que la función sea positiva en uno y negativa en el otro y me fabrico una curva que los una. Hago la composicion de la curva con la función y aplico Bolzano (la composición es continua porque f y la curva son continuas). Voy a llegar a un absurdo porque la función sólo se anula en los puntos de la recta, que no están en mi dominio. Por lo tanto la función es o toda negativa o toda positiva, y todos los puntos de la recta son extremo. Y como son extremo, el gradiente es cero en todos ellos. Va por ahí?

Es exactamente eso. También está resuelto acá: [15/12/2014] Ejercicio de análisis I

Alguno tiene idea como hacer el 2 ?

Regla de la cadena para calcular el gradiente de \(g\) (gradiente \(\sim\) dirección de máximo crecimiento)

Me queda que el gradiente de g en (0,0) es igual al gradiente de f en (1,0) multiplicado por una matriz de 2x2 que tiene todo 0 salvo un 1 arriba a la derecha; eso significa que el gradiente de g en (0,0) es el vector 0, la derivada con respecto a x de f en el (1,0) ?

No hice las cuentas pero tiene sentido. Notar que las derivadas de f las podes leer del plano tangente.

Nicoshev tiene sentido, la matriz 2x2 es el Diferencial de la funcion que se compone con f. A mi me queda
01
11
Con lo que el gradiente de g me da (-2,2) pero las cuentas pueden estar mal