Sea \(f: [0, +\infty) \to \mathbb R\) una función continua y positiva tal que \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = a > 0.\)
Probar que
IDEA:
Intuitivamente ocurre lo siguiente: a partir de un valor M la función f toma valores muy cercanos a \(a\), digamos entre \(a - 1\) y \(a + 1\). Entonces sabemos que
El primer sumando es algo fijo por \(1/x\), y se va a \(0\) cuando \(x\) tiende a infinito. El segundo sumando puede acotarse usando que \(a-1 \leq f(t) \leq a+1\), y entones \((a-1)(x-M)\leq\) area abajo de \(f(t)\) entre \(M\) y \(x \leq (a+1)(x-M)\). Multiplicando por \(1/x\) vemos que para \(x\) muy grande, esa integral queda ensanguchada entre \(a-1\) y \(a+1\).
SOLUCION: Quiero ver que el límite da \(a\). Eso quiere decir que para todo \(\epsilon > 0\), existe un \(N\) real tal que si \(x > N\) entonces \(|\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt -a| < \epsilon\). Notar que \(a = \frac{1}{x}\int_0^x a dt\), así que para acotar puedo hacer
Como \(\lim_{x \to \infty }f(x) = a\), entonces existe un \(M\) real tal que \(|f(x)-a| < \epsilon/2\) para todo \(x>M\). Abriendo la integral de \((*)\) tengo que
Ahora \(I_1 = \frac{1}{x}\int_0^M |f(t) - a |dt\) es un número fijo que no depende de \(x\), y puedo elegir \(M_1\) tal que \(I_1/M_1 < \epsilon/2\). Por otro lado, como \(|f(t)-a| < \epsilon /2\) para cualquier \(x > M\), tenemos que
Luego \((*) = (**) < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon\) siempre que \(x > M, M_1\).
Segunda opción: L'Hôpital, sale en dos patadas. Justifíquenmen bien por qué se puede usar l'Hôpital 🙂.