Hola, quería preguntar a alguien que haya cursado este cuatrimestre si los teoremas dados en clase son los mismos que en el apunte del profesor (ya en otro post me mostraron una deducción de cierto teorema bastante mas confiable y simple que la que esta en el apunte, dada por el propio Larotonda).
Los teoremas buscados son:
\(C^1\) implica diferenciabilidad
igualdad de derivadas cruzadas
multiplicadores de lagrange (\(\mathbb{R}^2\) o mas)
regla de Barrow
$${F}_{v}(p)= <\nabla F(p),v>$$
Desde ya gracias.
P.D.: tengo la versión vieja del apunte de Larotonda, pero me dijeron que casi no cambio nada.
El apunte que tengo de Larotonda tiene todas esas demostraciones. No sé a qué te referís con "más confiable". Quizás sea más fácil o más difícil de entender, pero más que algún error de tipeo, las demostraciones del libro están bien (la mayoría las he comparado con lo que me dieron en clase y saqué de otros libros)
Por otro lado, de las demos que estás pidiendo, mutliplicadores de Lagrange y la igualdad de las derivadas cruzadas no las dieron este cuatrimestre (pregunté en dos cursos y me dijeron que no las vieron).
Las otras 3 están en cualquier libro, no creo que tengas problemas para encontrarlas...
Te digo más o menos como se hacen, pero en todos lados las resuelven parecidas.
\(C^1\) implicia diferenciable:
Tenés que usar el teorema de valor medio de Lagrange en las derivadas parciales (porque son continuas y están bien definidas, podés hacerlo), y después hacés un poco de magia y acotaciones y te queda que es diferenciable (En el libro de Larotonda aparece en el título "Criterio de diferenciabilidad")
Regla de Barrow:
Por el TFCI decís que si \(G(x)\) es una primitiva de tu integral sobre \(f\), entonces \(G'(x)=f(x)\). Luego, si existe otra primitiva \(F\) (que de hecho son infinitas), también cumplirá que \(F'(x)=G'(x)=f(x)\), luego hacés un par de cuentas y te queda que \(F\) y \(G\) difieren de una constante, y terminás sacando que esa constante es \(F(a)\) (donde \(a\) es el límite inferior de la integral) (Lema 6.1.13 del libro de Larotonda)
$${F}_{v}(p)= < \nabla F(p),v>$$
Sabés que es diferenciable y querés ver que eso vale. Planteás la definición de derivada direccional y proponés que eso sea igual a \(< \nabla F(p),v>\) (que es lo que querés ver). Pasás restando adentro del límite y haciendo cuentas y luego un cambio de variable \(x=p+hv\) y te queda lo que buscabas (Teorema 3.2.5 del libro de Larotonda)
Estas demos las podés encontrar en cualquier lado en internet y otros libros, y no difieren mucho del apunte de Larotonda.
En realidad multiplicadores de lagrange la dio larotonda pero para \(\mathbb{R}^{2}\). Es mucho mas simple que la del libro (que está en n variables) porque en el libro tenes que usar algo de la funcion implicita.
Para dos variables, basta decir que teniendo una funcion, restringida a una curva, y queres ver que un punto P es critico, entonces localmente alrededor del punto la parametrizas, con \(\alpha (t) = P + tV\) y tomas la compisicion \(fo\alpha (t)\), derivas en t=0, donde \(fo\alpha (0) = f(P)\) que es extremo por hipotesis, y entonces la derivada se anula, al hacer regla de la cadena te queda producto interno entre el gradiente de f y la derivada de \(\alpha\) igualado a 0. Eso te dice justamente que son perpendiculares, y como \(\alpha '\) es la pendiente de la recta tangente a tu curva de nivel, en P, entonces estas diciendo que el gradiente es perpendicular a la curva en P, y es lo mismo que decir que es paralelo a la normal de la curva en P (donde la normal es el gradiente de g(x,y) pues tenias una curva \(C = \{ (x,y) / g(x,y)= k \}\) )
La de igualdad de derivadas cruzadas no la dio. Y segun me comentaron, unos compañeros que le preguntaron, larotonda para este final se limita a tomar lo que el dio en la clase (yo curse con el este cuatrimestre)
Y si, hay demostraciones que son mas faciles en las clases que en las notas, y viceversa tambien (por ejemplo, la demostracion que dio del criterio del hessiano, me gusto mucho mas la de las notas, pero por un tema de notaciones)
La de C1 implica diferenciabilidad la dio distinta en la clase me parece,
el partio de la condicion de limite de diferenciabildiad, te la dejo masomenos acá porque me resulto un poco mas facil que la de las notas.
\(Sea\: P\in A,\: P=(a,b)\) queremos ver que f es diferenciable (partimos de las condicion en dos variables, en un conjunto A abierto, y la funcion c1)
tomamos el limite del criterio de diferenciabilidad en el punto P
y tomamos los incrementos h,k como cuatro "puntos" \((a+h,b),\: (a+h,b+k),\:(a,b+k),\: y\:teniamos\:el\:punto\:(a,b).\)
entonces el limite lo escribimos como
Y acá practicamente esta hecho. uno toma un \(c\in (b,b+k)\) y un \(d\in (a,a+h)\) y tenemos adentro del limite, las derivadas parciales. pues tenemos
\(f(a+h,b+k)-f(a+h,b) = {f}_{y}(a+h,c)k\) porque recordemos que tenemos h,k acercandose al origen.
ademas tenemos \(f(a+h,b)-f(a,b) = {f}_{x}(d,b).h\) (yo me confundia aca, pero pensandolas como limites de derivadas por definicion, recordando que tenes dividiendo a la norma, y ahi te das cuenta)
se cancelan los \(||h,k||\) y te queda solo los terminos de arriba. Ahi, como por hipotesis es C1, las derivadas parciales eran continuas, entonces, cuando \((h,k)\rightarrow (0,0)\),\({f}_{y}(a+h,c) \righarrow {f}_{y}(a,b)\) (pues c estaba entre (b,b+k)y lo mismo con \({f}_{x}\)
Me quedo un poco largo, pero bueno, me sirve tambien para practicar, y espero que te sirva.
Para demostrar multiplicadores de lagrange en \(\mathbb{R}^2\) tambien tenes que usar implicita. Se usa para pasar entre el enunciado del teorema (que habla de minimizar f sujeto a el conjunto \(\{x: g(x)=0\}\) y la curva que mencionaste vos en tu demostracion. Esencialmente implicita te dice que una "curva de nivel" es una curva.