aqui observaba que G es igual a su polinomio de Taylor de orden 2 alrededor del (0;0), donde \(G(0;0)=0\) y \(\nabla G(0;0)=(0;0)\), es decir, si pruebo que
\(G(0;0)=0\) y \(\nabla G(0;0)=(0;0)\) gané, o no??
Para probar esto dije:
si \(t=0 \Longrightarrow G(0;0)=0\) pues \(G(0x;0y)=0^2G(x;y) \Longrightarrow G(0;0)=0\)
asumiendo como valido q \(G(0;0)=0\) dije, tomo \(V=(V_1,V_2)\) con \(\|V\| =1\). Calculo su derivada direccional en \((0;0)\) en direccion de \(V\)
\(\lim_{h \rightarrow \0}G((0;0)+h(V_1;V_2))-G(0;0))/h = \lim_{h \rightarrow \0} G(hV_1;hV_2)/h =\) (por dato) \(\lim_{h \rightarrow \ 0} ((h^2) G(V_1;V_2))/h =\) (simplificandos haches) \(\lim_{h \rightarrow \ 0} h G(V_1;V_2) = 0\) cuando \(h \rightarrow 0\) \(\Longrightarrow\) las derivadas direccionales de \(G\) valen \(0\) para cualquier vector, tomando \(V=(1;0) y V=(0;1)\) se tiene que \(\nabla G(0;0)=(0;0)\)
ESTA BIEN ESTO??? GRACIAS
aca les dejo el resto
Probar que si f es diferenciable entonces es continua.
calcular el area de la region encerrada por la curva r=1+cos(a), donde r y a vienen dadas por el cambio de coord polares x=rcos(a), y=rsen(a)
\(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\) \(C^3\), \(\nabla f(P)=(0;0)\).Probar que si \(Hf(P)\) es definido positivo \(\Longrightarrow\)\(f\) tiene un minimo local en P.
Hoy este ejercicio me ganó.. jaja. En tu razonamiento creo que faltaría justificar que G(x,y) es efectivamente su polinomio de taylor de orden dos. Para hacer esto habría que probar que la formula del resto es identicamente cero?
Hoy este ejercicio me ganó.. jaja. En tu razonamiento creo que faltaría justificar que G(x,y) es efectivamente su polinomio de taylor de orden dos. Para hacer esto habría que probar que la formula del resto es identicamente cero?
sabes que mepa q tenes razon, creo me comi esa parte
Un pequeño detalle. En el 4) \(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\)
En el segundo yo hice algo distinto. Quizás sea una burrada total...
Derivé respecto de \(t\) a ambos lados, dos veces, y evaluando en \(t=0\) me quedaba la igualdad.
es verdad, me lo confundi con el C3...
con respecto al problema la verdad que no se si esta bien como lo hiciste, yo le pregunte a larotonda si venia por ahi la cosa, por el tema del polinomio de taylor, y me dijo que si..
Claro, hicimos lo mismo. Sólo que yo no definí nada, simplemente puse que por la regla de la cadena;
$$D(F\circ G)= D(F) * D(G)$$
Derivando dos veces te queda la igualdad. Por lo menos esta forma está bien, porque el 4) que hice es puro chamullo y me saqué un 8 😄
En el 1) hice la demostración que está en Larotonda. A la expreción
\(\left | F(X) - F(P) \right |\) le sumás y le restás \(\left \langle \nabla F(P); X-P \right \rangle\)
Separás la suma por desigualdad triangular. Te queda el plano tangente mas \(\left \langle \nabla F(P); X-P \right \rangle\)
Multiplicas y dividís al plano tangente por \(\left \| X-P \right \|\) y a lo otro lo acotás por CS por:\(\left \| \nabla f(P) \right \|\left \| X-P \right \|\)
Ambos sumandos tienden a cero, entonces, \(f\) es continua en \(P\)
El 3) había que integrar \(\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1 + cos(\theta )} r dr d\theta\)
hola a todos! tengo una duda con el ejercicio 2 que plantearon, cuando derivo dos veces una de las igualdades me da bien me queda 2G(x,Y) pero la otra igualdad con la regla de la cadena me hago lio, porque no se como derivarla dos veces, me ayudan?
saludos!