Final 28/12/10 Ej. 5

Hola! Aca adjunto el ej 5 del final del 28. Cuando lo vi no sabia ni por donde empezar. Si alguien sabe hacerlo.. por favor digame como!

gracias!!!

en el punto a) es igual a cero. por la propiedad de que \(\int_{0}^{0} f(x) dx = 0\). El paso a varias variables se justifica con fubinni. es decir usas fubbini e integras primero la variable que va de cero a cero. por la propiedad anterior el resultado es cero. luego al integrar la otra variable estas integrando la funcion cero por lo que la integral te va a dar de vuelta cero. una idea mas geométrica es pensar que te estan pidiendo calcular el volumen de un cuerpo donde el techo viene dado por la funcion que integras. y al pedir que una variable se mueva entre cero y cero en realidad te esta diciendo que el cuerpo tiene dos dimensiones. trivialmente uno se da cuenta de que no tiene volumen y entonces es razonable que la integral de cero. para el punto b) hay que usar fubbini y después el teorema fundamental del cálculo.

Claro! .. yo pense eso de que te daba cero! y que encima era en dos variables... pero me sonaba a que no podia ser.
que boluda.. gracias!!

jaja de nada 😆

Yo rendi el 28. Tenia todos bien menos el 5 XD Mal mal...

Como harias el b)? concretamente hablando? como separas la integral?

Entendi la parte a), pero la b)? Como separas las integrales para despues aplicar el teorema fundamental?

supongamos que vale la siguiente proposición que no voy a demostrar: sea \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\), \(f \in c^1 (\mathbb{R}^n)\), \(f({x}_{1}, ... , {x}_{i}, ... , {x}_{n})\). Entonces si \(i \neq j \Rightarrow \frac{\partial}{\partial {x}_{j}} \int_{0}^{{x}_{i}} f({x}_{1}, ... , t , ... , {x}_{n}) dt\)\(= \int_{0}^{{x}_{i}} \frac{\partial}{\partial {x}_{j}} f({x}_{1}, ... , t , ... , {x}_{n}) dt\)
Ahora usemos la proposición para este ejercicio \(\bigtriangledown F(x,y) = (\frac{\partial F}{\partial x} (x,y) , \frac{\partial F}{\partial y} (x,y) )\)
\(\frac{\partial F}{\partial x} (x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \int_{0}^{x} \int_{0}^{y} e^{(u-1)(v^2-v)} dvdu\) y ahora usando fubbini y la proposición anterior \(= \int_{0}^{y} ( \frac{\partial}{\partial x} \int_{0}^{x} e^{ (u-1) (v^2-v) } du ) dv\) y ahora usamos el teorema fundamental del cálculo \(= \int_{0}^{y} e^{ (x-1) (v^2-v)} dv\)
y aca ya esta casi cocinado, lo único que falta es evaluar en el \((1;1)\) y resolver la integral.
para la derivada parcial respecto de y es lo mismo. cualquier crítica o error que encuentren es bien recibida! saludos!

Mmm, es un mensaje viejo, no creo que respondan pero... las integrales no son mis amigas, hay algo que no entiendo.
Lo que te quedaría no sería la integral de la funcion con x evaluado en el uno, menos la funcion con x evaluado en el cero?
Por lo que me pareció hiciste de cuenta que la funcion en cero valía cero entonces solo te quedaba \(= \int_{0}^{y} e^{ (x-1) (v^2-v)} dv\)
Cuando en realidad debería ser \(= \int_{0}^{y} e^{ (x-1) (v^2-v)} - e^{ (0-1) (v^2-v)} dv\)

Encima no me sale integrar eso que me queda, osea. \(= \int_{0}^{y} - e^{ (v-v^2)} dv\)
Seh... no soy una luz integrando.

Está mal lo que decís, acordate del teo. fundamental del calculo:

Una "forma" de demostrarlo (o por lo menos de acordarte el teo.) es pensar que la integral es una primitiva \(F\) tal que \(F'=f\) y el resultado de la integral te queda \(F(x)-F(0)\). Cuando derivás el termino \(F(0)\) es constante y se va.

Hm, ok gracias, qué gil.

ivoo escribió:

supongamos que vale la siguiente proposición que no voy a demostrar: sea \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\), \(f \in c^1 (\mathbb{R}^n)\), \(f({x}_{1}, ... , {x}_{i}, ... , {x}_{n})\). Entonces si \(i \neq j \Rightarrow \frac{\partial}{\partial {x}_{j}} \int_{0}^{{x}_{i}} f({x}_{1}, ... , t , ... , {x}_{n}) dt\)\(= \int_{0}^{{x}_{i}} \frac{\partial}{\partial {x}_{j}} f({x}_{1}, ... , t , ... , {x}_{n}) dt\)

Alguien sería tan amable de dar una demostración de esta proposición? Porque sinceramente no sé cómo justificarla. El problema es que si bien conozco la fórmula de Leibniz para la diferenciación bajo el signo integral para integrales en una dimensión http://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_under_the_integral_sign, no comprendo la generalización que aparece en ese mismo artículo de la Wikipedia para integrales dobles o triples (que exige ciertos conocimientos de análisis vectorial).

De todas formas con una demostración de la proposición es más que suficiente.

Desde ya gracias!

Hay una demostración en el foro que hizo exe. Yo en este momento no me la acuerdo así que te la debo. De todas maneras en el Mardsen Tromba debe estar

Derivación bajo el signo integral:
http://web.mat.bham.ac.uk/j.a.canizo/tex/dbi.pdf