Bueno, esta mañana fuí feliz, cuando pensé que ya había reprobado, me encuentro con que aprobé y bastante bien! quería agradecerles a todos los que postean y resuelven los ejercicios ya que me fueron de gran ayuda para aprobar el final. Por ello me registré para agradecerles y dejarles el final de esta mañana.
1- Sea \(A\subseteq \mathbb{R}^2\) abierto y f:A-->R de clase \(C^2\). Probar que \(f_{xy}(P)=f_{yx}(P)\)
2- \(f:A\subseteq \mathbb {R}^2 \rightarrow{R}\). A abierto, f es \(C^2\). Probar que si P es punto critico y el Hf(P) es definido positivo, entonces f(P) es un mínimo.
3-Sean \(f\)y \(g\) :\(A\subseteq \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb {R}\) \(A C {R}^2\) abierto. f y g son diferenciables en P, \(f(P) = g(P)\) y \(\nabla f(P)= \nabla g(P)\). Probar que \(\lim_{X\longrightarrow P}\)\(\frac{f(x)-g(x)}{\Vert X - P\Vert}=0\)
4-Sea Br(a) la bola o disco de radio r centrada en a y \(\int \int_{B_r} f(x,y) dx dy = 1\). Probar que existe un r' tal que \(0<r'<r\) \(\int \int_{B_r'} f(x,y) dx dy = \frac{1}{2}\)
Y la sugerencia era, pensar \(f(x,y)\)=\(g({x}^2+{y}^2)\). g es continua y g:[-r,r]-->R
No recuerdo bien las condiciones sobre f =/
2-Tambien se encuentra en los apuntes de Larotonta, pero yo lo expliqué desarrollando el polinomio de taylor
3-Hice la clásica resolución de tomar h(x)=f(x)-g(x) y lo probe por definicion y usé que h es diferenciable
4-Este fue el item más movidito, básicamente lo que hice fue definir una funcion que dependia de r y esta funcion era la integral sobre g(r^2).r y luego por Bolzano expliqué que tiene que haber un r' tal que h(r')=1/2 ya que h(0)=0 y h(r)=1
Bueno, agradecido nuevamente a todos aquellos que postean aquí.
EDIT:
Te dejé una muestra de tex. Me llevó un minuto. Si podes terminalo. Queda mucho mejor.
la sugerencia es usar \(f(x,y)=g(x^{2}+y^{2})\), pero no sabemos si f todos los (x,y) que tienen la misma norma, por ejemplo igual a r, verifican f(x,y)=g(r*r)= constante. hay algún otro dato que falta aclarar sobre f?
sino, lo único que se me ocurre es como decis: crear una función que dependa del radio. usando el teorema de cambio de variables.
va por ahi la cosa?
f es contínua y no decía que era constante. Habría que analizar los 2 casos, pero si fuera constante saldría más rápida la demostración. Y hasta podrías decir para que r0 se cumple. Yo fuí por el lado de cambio de variable, no se me ocurrió pensar que f fuera constate en la bola.
perdón, quise decir que tomando \(f(x,y)=g(x^2+y^2)\) estamos asumiendo que, por ejemplo, suponiendo que (1,0) y (0,1) pertenezcan a Br(a),
f(1,0)=g(1+0)=g(0+1)=f(0,1)
es lo que me resulta confuso.
Me faltaría laburar más con las definiciones de diferenciabilidad o tomar el límite por definición. O quizás incluso demostrar el límite de diferenciabilidad?
Saludos...
EDIT: Como hago para que los \(0\) me queden bien posicionados?
Firma
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
en realidad no tenes que demostrar los limites de diferenciabilidad de f y g porque en realidad ese es el dato cuando te dicen que son diferenciables. saludos!
yo lo compro tambien! jaja lo unico diferente que se podria hacer es definir a \(h= f-g\) y argumentar que h es diferenciable pues f y g lo son. saludos!
sii la verdad que bastante facil. si estas preparando el final y podes darlo en junio hacelo porque lo tomaria pablo amster. yo lo di con el y la verdad que es un tipazo, no tiene drama de que vayas a la oficina a preguntarle dudas y no toma ejercicios practicos imposibles y las demos son las mas conocidas.
esta en los apuntes de larotonda. te dejo la idea que me acuerdo. como p es punto critico entonces el gradiente se anula. luego como f es \(C^2\) podemos usar taylor. \(f(x)=f(p) + \frac{1}{2} < Hf(x-p), x-p> + R(x-p)\). sacando \(||x-p||^2\) de factor comun entonces \(f(x)=f(p)+||x-p||^2 ( \frac{1}{2} < Hf(\frac{(x-p)}{||x-p||}),\frac{(x-p)}{||x-p||}> + \frac{R(x-p)}{||x-p||^2})\) luego si conseideramos el conjunto de los vectores de norma 1 entonces es un conjunto compacto. entonces como la forma cuadratica de f es continua y el conjunto es compacto alcanza en particular un minimo y como el hessiano es definido positivo entonces dicho minimo debe ser positivo. como el resto tiende a cero entonces existe r>0 talque si \(||x-p||<r\) entonces\(( \frac{1}{2} < Hf(\frac{(x-p)}{||x-p||}),\frac{(x-p)}{||x-p||}> + \frac{R(x-p)}{||x-p||^2}) > 0\)
