Hola, esto la verdad debe ser muy facil para cualquier matematico, pero como yo estudio computacion, no tengo ganas de ver que es lo que esta mal, lo hice 2 veces y no me sale, tengo que resolver esta integral, y tiene que dar 1/2 segun la practica
$$\int _ {0} ^ {\infty} \int _ {0} ^ {x} e ^ {-\lambda x} x \lambda ^ {2} e ^ {-\lambda y} dy dx$$
si alguien me la puede resolver paso a paso se lo agradeceria muchio!!!
$$\int _ {0} ^ {\infty} \int _ {0} ^ {x} e ^ {-\lambda x} x \lambda ^ {2} e ^ {-\lambda y} dy dx = \int _ {0} ^ {\infty}e ^ {-\lambda x} x \lambda \int _ {0} ^ {x} \lambda e ^ {-\lambda y} dy dx =\int _ {0} ^ {\infty}\lambda e ^ {-\lambda x} x (-e ^ {-\lambda x} - (-e ^ {-\lambda 0}))dx= \int _ {0} ^ {\infty}\lambda e ^ {-\lambda x} x (1-e ^ {-\lambda x})dx=\int _ {0} ^ {\infty}\lambda e ^ {-\lambda x} x- e ^ {-2\lambda x} x dx=\int _ {0} ^ {\infty}\lambda e ^ {-\lambda x} x- \int _ {0} ^ {\infty}\lambda e ^ {-2\lambda x} x dx=(*)$$
Ahora la integral de \(e ^ {-\lambda x} x\) sale por partes:
$$\lambda \int e ^ {-\lambda x} x dx= -e ^ {-\lambda x} x +\int e ^ {-\lambda x}dx=-e ^ {-\lambda x} x +\frac{-1}{\lambda} e ^ {-\lambda x}=-e ^ {-\lambda x}(x+\frac{1}{\lambda})$$
Lo usamos dos veces y reemplazamos en lo de mas arriba: