Tema
1º Toda sucesión acotada contiene una subsucesión convergente
2º Sea K compacto, entonces de toda sucesión de puntos de K, se puede extraer una subsucesión que converge a un punto de K.
se lo agradecería enormemente, quizas sean iguales las propocisiones pero bueno no las entiendo, saludos!!!.
Ok, acá va la respuesta. Igual, estaría bueno que lo veas en un libro, por ejemplo el de Noriega. Hay que acostumbrarse a leer los libros!!
Efectivamente, son iguales las dos proposiciones, o casi. Igual no necesitas un capo de las matemáticas 😛
Fijate que si tenés una sucesión de puntos en un compacto, debe ser acotada, porque el compacto es acotado. Por 1, tenés que tiene una subsucesión convergente. Esa subsucesión es también de puntos de K; como K es cerrado, si una sucesión de puntos de K converge a un punto x, entonces x está en K.
Para ver que toda sucesión acotada tiene una subsuc. convergente, podés hacer lo siguiente. Voy a hacer la primera parte con mucho cuidado, en \(\mathbb R\), y el resto va la idea:
Primero, tu sucesión es una tira de puntos \(x_1, \ x_2, \ x_3 \ \ldots\). Como está acotada, tenés que \(|x_n| \leq M\) para algún \(M\). Eso quiere decir que está metida adentro del intervalo \([-M,M]\). Entonces, lo que hacemos es partir el intervalo en dos, \([-M,0]\) y \([0,M]\). Entonces, nos fijamos a qué mitad pertenece cada uno de los números de nuestra sucesión. Por ejemplo, ponele que \(x_1 \in [-M,0], \ x_2 \in [-M,0] \ x_3 \in [0,M], \ \ldots x_22 \in [0,M] \ldots\), etc. Puede ocurrir que muchos de los elementos de la sucesión estén en ambos intervalos, es decir, que sean 0. En ese caso, simplemente nos quedamos con que \(0 \in [0,M]\) y listo.
Entonces, los vas agrupando en dos grupos. Están los que caen en el \([-M,0]\), y después los que caen en el \([M,0]\). Bueno, resulta que no puede ser que uno caiga finitas veces en \([-M,0]\), y finitas veces en \([M,0]\). Como hay infinitos puntos de la sucesión (OJO, no tienen que ser todos distintos. Podría ser la sucesión constantemente 1, por ejemplo; pero si hay infinitos puntos: el \(x_1\), el \(x_2\)... el \(x_{142857}\), etc.), uno tiene que caer infinitas veces en \([0,M]\) o infinitas veces en \([-M,0]\). Por ahí uno cae infinitas veces en los dos... pero al menos en uno, seguro.
Ponele que cae infinitas veces en \([M,0]\). Entonces te quedás con ese conjunto, y te olvidás del otro. Si no, entonces cae infinitas veces en \([-M,0]\), y te quedás con ese. Sea cual sea, llamémoslo \(I_1\). Bueno, tenemos una subsucesión de tu sucesión original metida adentro de \(I_1\), así que ¡podemos hacer el mismo truco! Partimos el intervalo por la mitad, y en alguna de las mitades hay infinitos puntos. A esa mitad la llamas \(I_2\). Vas repitiendo el mismo procedimiento con \(I_3, \ I_4, \ I_5 \ \ldots\) y te van quedando intervalos cada vez más pequeños. Acá aparece el teorema de encaje de intervalos, que dice que si tenés una sucesión de intervalos encajados, cuyo diámetro tiende a cero, entonces hay un único punto que está en todos esos intervalos. Llamalo \(x\). ¡Y listo! ahora hacés lo siguiente. De \(I_1\) agarrás el primer numerito de la sucesión que caiga ahí adentro. A ese llamalo \(x_{n_1}\). Después, de \(I_2\) agarrás el primero que cae ahí, y lo llamás \(x_{n_2}\), y así siguiendo. Como \(|I_k| = \frac{M}{2^k}\), \(|x_{n_k} - x| \leq \frac{M}{2^k}\), tenés que \(x_{n_k} \longrightarrow x\).
Bien, esa es la demostración para \(\mathbb R\), espero que no te haya resultado muy confusa. Traté de hacerla lo más clara posible. Para \(\mathbb R^n\) hay dos posibilidades (hay más, pero digamos esas dos). Una es hacer la misma demostración, pero no con intervalos \([-M,M]\), sino para cubos \([-M,M]\times[-M,M]\times \ldots \times[-M,M]\), y usar el teorema de los cubos encajados, que dice lo que te imaginás.
La otra, te la cuento en \(\mathbb R^2\), y la idea queda clara. Ponele que tenés una sucesión \((x_n,y_n)\). Como es acotada, en particular la sucesión \((x_n)_{n \in \mathbb N}\) debe ser acotada, así que tiene subsuc. convergente, digamos \((x_{n_k}) \longrightarrow x\). Entonces miramos la sucesión \((x_{n_k},y_{n_k})\). Como \(y_{n_k}\) es acotada, tiene una subsuc. convergente, \(y_{n_{k_j}} \longrightarrow y\), y listo, tenés una subsucesión \((x_{n_{k_j}},y_{n_{k_j}}) \longrightarrow (x,y)\).
Eso ya lo demostramos en alguna parte de la teórica,me acuerdo haberlo visto; lo que seria interesante que alguien postee como demostrar porq no tengo idea y en la teórica NO SE DIO(por lo menos en la mia no,y les pregunte a un par de la de Becker y tampoco me supieron decir) es:
Demostrar que un conjunto compacto alcanza sus máximos y mínimos.
Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"
Vos decis que una funcion continua que sale de un compacto alcanza maximo y minimo?
En ese caso tomas \(y=\sup_{x\in K}f(x)\) (podria ser \(+\infty\)) Ahora por propiedades del supremos podes tomar una sucesion \(y_n \in Im(f)\) tal que \(y_n \rightarrow y\) pero como \(y_n \in Im(f)\) podes encontrar \(x_n : f(x_n)=y_n\)
Por lo que demostraron antes hay una subsucesion convergente \(x_n_k \rightarrow x\) como f es continua (hasta ahora no lo habiamos usado) \(y_{n_k} = f(x_{n_k}) \rightarrow f(x)\)
Por la unicidad del limite y porque el limite de una subsucesion de una sucesion convergente es el mismo deducis dos cosas:
Quimey
Gente mil gracias. Varias cosas:
1º El teorema que dice:
Demostrar que una función continua en un conjunto compacto alcanza sus máximos y mínimos.
ese lo demostraron en la clase de Becker, pero en una parte del teorema usaron ese teorema que te dije hace un rato.
2º El tema es que actualmente el único libro que tengo es el tromba y no lo mostraba busque en google pero no encontré. (Sí, lo sé siempre que se busca se encuentra pero bueno...) me sentí un poco ofendido por que yo frecuento bastante lso libros 🤓 .
Otra cosa a mí, me gusta que encaje todo. Entonces, ¿es difícil demostrar el teorema de encaje de intervalos? o me estoy metiendo en un teorema que requiere otro teorema y así sucesivamente.
Muchas gracias.
Saludos!!!.
Pd: Ya sé que no entra en el final pero me gustaría saberlo para entender justamente el teorema que dije en el item 1º.
El teorema del encaje de intervalos se demuestra usando la completitud de los reales, es decir, el axioma del supremo (de hecho es equivalente, también se puede usar para demostrarlo):
Dado un conjunto \(A \substet \mathbb R\), si \(A\) tiene una cota superior, entonces existe el supermo de \(A\)
Uhh buenísimo ahroa mismolo llevo ala práctica gracias, saludos!!.
Quimey....el supremo podría ser +infinito????
medio raro eso; yo diria q puede ser tan grande como se quiera en el caso 😐
Si no sabes que la funcion es continua (o que el intervalo es cerrado) el supremo puede ser infinito por ejemplo \(\sup_{0<x<1}\frac{1}{x}\)