Sean \(a_0,b_0\; \epsilon \;\mathbb{R}\) tales que \(a_0>b_0>0\) . Se consideran las sucesiones y definidas recurrentemente por:
\(a_n_+_1 = \frac{a_n+b_n}2\) , \(b_n_+_1 = \sqrt{a_nb_n}\)
Demostrar las siguientes afirmaciones
a)\(a_n\geq b_n\) para todo natural n
b)\(a_n\) es decreciente y \(b_n\) es creciente
c)Ambas son sucesiones convergentes y \(\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n\)
Tengo problemas mayormente con la cosigna a) y c).
La a) la hice pero me parece que está mal y quisiera verificarlo, lo que hice basicamente fue basicamente plantear lo contrario \(a_n < b_n\), operar un poco y reemplazar por algun valor, me daba un absurdo y ahí "concluí" que se tiene que cumplir lo anterior, pero se que así no va 😛
En cuanto a la c) no tengo la más minima idea de como hacerla.
Que quede claro que no pretendo que nadie lo resuelva por mi si no que me tiren alguna idea de como se hace 🙂
La parte a) sale con un truquito elevando al cuadrado (lo tenes completamente explicado aca http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality ... tric_means).
Para la parte c) usas que monotona y acotada implica convergente. Una vez que tenes la convergencia por algebra de limites te sale que el limite de las 2 es el mismo.
La parte a) sale con un truquito elevando al cuadrado (lo tenes completamente explicado aca http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality ... tric_means).
Para la parte c) usas que monotona y acotada implica convergente. Una vez que tenes la convergencia por algebra de limites te sale que el limite de las 2 es el mismo.
Buenisimo, ya salió el a) y el b) gracias al link que me pasaste 😄
Ahora estoy con el c), la convergencia la obtuve por b) y porque una sucesión está acotada por la otra (y viceversa) que es lo que me dijiste. Pero a la hora de calcular el límite tengo que hacerlo sobre las variables que había reemplazado antes en a) o sobre \(a_n_+_1\) y \(b_n_+_1\) ? me trabo en esa parte porque, probando con los dos es como que están relacionados porque \(a_n\) necesita de \(b_n\)
tenes que tomar limite cuando \(n\to \infty\) y operar...
Si ya veo... pero dentro del límite tengo que saber a que tiende \(a_n\) (si uso el limite de \(a_n_+_1\)) o a que tiende \(a_n_+_1\), y estoy en la misma... a eso voy
Ya fue, mañana tengo clase y pregunto.