Hola. Estoy preparando el final de análisis y me puse a resolver finales. Me dí cuenta que varios no me salían y cuando trato de buscar ayuda en el foro leo resoluciones no muy claras.
En el ejercicio 1 que postearon aquí
en la resolución utilizan el teorema de bolzano generalizado, pero en ningún momento se han corroborado las hipótesis (en este caso que sea conexo pues están usando eso) De hecho no es el único ejercicio que veo en el que no dicen nada de las hipótesis.
A mi se me había ocurrido también por el absurdo pero usando otras cosas, que no sé si están bien: como el cero sólo se alcanza por un punto, entonces su gradiente allí debe anularse pues debe ser extremo, ya que la función es continua (si el gradiente no se anula allí, entonces podría usar el teorema de la función implícita y encontrar un entorno al punto donde esté definida una función h(x)=y por ejemplo, pero habría más de un punto donde vale 0, y eso es absurdo) Entonces al ser un extremo, podría ser absoluto o relativo: si es relativo, entonces en un entorno será extremo, pero si nos alejamos existen puntos que pueden estar por encima o por debajo del mismo, y de suceder esto (aquí tendría que usar bolzano generalizado) existe una curva que los une, y como tienen signos distintos (y la función es continua) tocaría el 0 en algún punto y aquí el absurdo. Entonces debe ser absoluto, por lo que la función está toda debajo del 0 o por encima. El contraejemplo a mi demostración es que no dije nada si era un punto silla, ni tampoco justifiqué de por qué era arcoconexo... He aquí mi gran duda.
Ejercicio 2 posteado aquí:
No se me ocurrieron muchas cosas. Básicamente, me están diciendo que "por cualquier curva" que yo tome, la función compuesta con esa curva es diferenciable en el punto 0, pero sin embargo la f no es diferenciable en el (1,0) (es un contraejemplo a la falacia de si existe el límite por cualquier curva entonces existe el límite)
La función está partida en 0 y lo otro lo llamé h(x,y). Ambas son continuas y diferenciables, pero h(x,y) no lo es en el (1,0). Resta ver que si yo compongo con una curva entonces la derivada es continua en el 0. Justificando así, y sabiendo que la curva que me dan es de clase C1, ¿puedo hacer regla de la cadena en la composición? De ser así, tampoco puedo hacer mucho, pues no conozco la derivada de la curva. Plantié el cociente incremental de la composición y tampoco llego a nada. Traté de hacer sandwich y tampoco. Quizás estoy haciendo algo mal o me falta algo. Algún consejo?
Por ahora estas dudas son las más grosas que tengo, espero que alguno pueda ayudarme. Desde ya muchas gracias.
Saludos.