A alguien se le ocurre cómo probar que
\(\int_{a}^{b} f_y(x,y) dx = \int_{a}^{b} f_x(y,x) dx\), con \(f_x, f_y\) las derivadas parciales respecto de \(x\) y de \(y\) respectivamente.
Tema
Integrar una derivada parcial
Me parece que es falso, fijate si f(x,y)=y. Uno de los lados da b-a y el otro 0.
Firma
Quimey
si \(f(x,y) = y\), \(\nabla f(x,y) = (0 , 1)\)
entonces, \(f(y,x) = x\), \(\nabla f(y,x) = (f_x (y,x), f_y (y,x)) = (1, 0)\)
$$\int_{a}^{b} f_y (x,y) dx = \int_{a}^{b} 1 dx = b - a = \int_{a}^{b} f_x (y,x) dx$$
Si no hice mal las cuentas, parece ser que vale!
En general la notación es que \(f_x(y,x)\) es tomar primero derivada y después evaluar. En mi ejemplo \(f_x=0\) y cuando evaluas sigue siendo 0.
Con la otra notación también es falso. Por ejemplo \(f(x,y)=y^2\), una de las derivadas es 2y y la otra es 2x como siempre integras respecto de x una integral es \(2y(b-a)\) y la otra \(b^2-a^2\)
Sí, tenés razón. El problema original era probar que
$$\int_D f_x(x,y) + f_y(x,y) dx dy = \int_{0}^{1} f(1,t) - f(0-t) + f(t,1) - f(t,0) dt$$
con \(D\) el cuadrado de 1x1.
Pensé esto: usando Fubini y TFC la integral respecto de \(x\) del primer sumando, me quedaba justamente \(f(1,y) - f(0,y)\), entonces me faltaba ver que la integral respecto de x del segundo sumando quedaba \(f(y,1) - f(y,0)\) la intuición me llevó a pensar así, pero no se me ocurre cómo probarlo.
Venis bien, antes de usar fubini te conviene separar la integral de la suma como la suma de las integrales, despues cambiar el orden de integración en cada sumando para que puedas usar dos veces el teorema fundamental del calculo, con todo eso deberia salir.
Totalmente!!