[Duda] Continua y Uniformemente continua

Hola, como andan?
Les cuento, estoy preparando el final de Mate 1 y no caso muy bien la diferencia entre Continua y Uniformemente continua.

Osea, la definición que tengo de la teórica de uniformemente continua es

y f es continua en p si \(\lim_{x \to p}f(x)=f(p)\)

Osea \(\forall \varepsilon >0,\; \exists \delta >0 \, \, / \: \left \| x-p \right \|<\delta \Rightarrow \left | f(x)-f(p) \right |<\varepsilon\)

Que me parece lo mismo cambiando las p por y 😄

Y despues tengo la demostracion de que si F es uniformemente continua entonces es continua donde lo único que hace es escribir la definicion de la primera entonces vale la segunda. No me gustó. Jajaja

Si me tiran una mano les dedico un porcentaje de la nota de mi final. 😄
Gracias de antemano, Saludos.

Editado 2 veces.

Es eso: continua te dice que si yo te doy un punto y un delta, vos me podés dar un epsilon que funcione para ese punto, mientras que uniformemente continua es que si yo te digo el delta me tenés que poder dar un epsilon que funcione para cualquier punto. Cuando es uniformemente continua se puede tomar el mismo epsilon para todos los puntos, mientras que si sólo sabés que es continua, el epsilon puede depender del punto.
Entonces es claro que si es uniformemente continua es continua, porque efectivamente para cada punto y cada delta tenés un epsilon, lo que pasa es que en realidad el epsilon depende sólo de delta y no del punto que elegiste.
Más interesante, aunque no sé si lo habrán visto en clase, es lo siguiente: si tenés una función continua cuyo dominio es un compacto, entonces automáticamente tu función es uniformemente continua.

Una forma copada de no confundirse es escribir de quien depende delta, así:

Guiyo escribió:

Osea, la definición que tengo de la teórica de uniformemente continua es

$$\forall \varepsilon >0,\; \exists \delta(\varepsilon) >0 \, \, / \forall x,y \in A,\: \left \| x-y \right \|<\delta(\varepsilon) \Rightarrow \left | f(x)-f(y) \right |<\varepsilon$$

y f es continua en p si \(\lim_{x \to p}f(x)=f(p)\)

Osea \(\forall \varepsilon >0,\; \exists \delta(\varepsilon,p) >0 \, \, / \: \left \| x-p \right \|<\delta(\varepsilon,p) \Rightarrow \left | f(x)-f(p) \right |<\varepsilon\)

Esto es todavía más útil cuando hay varias funciones o varios puntos.

Editado 1 vez.

Ah, creo que entonces si. Gracias por la ayuda che.
Yo tambien pensaba darlo el dos, asique si vos me estas explicando cosas a mi y vos no sabes si llegas me estas asustando un poco jajaja. Despues me queda una semana para preparar el de fisica 1 y rendirlo el 8 jajajaj. Veremos que pasa.
De nuevo, gracias a los tres.

Saludos.