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Demostración que las Bolas abiertas son abiertas

6 respuestas 8155 visitas 2010-04-11

#1 Andyvec 2010-04-11 18:41

Estoy intentando rehacer una demostración que vimos en la práctica, se trata de ver que las Bolas abiertas son... ¡abiertas!.

Hay un punto donde no le encuentro sentido. Esto es lo que hicieron los de la práctica:

\textrm{Tomo b} \in{B_{r}(a)}\textrm{. Quiero ver que } B_{r-d}(b) \subseteq B_{r}(a)

\textrm{Sea } c \in{B_{r-d}(b)}

\textrm{QVQ } c \in{B_{r}(a)}

\textrm{Es decir: } \left\|{c-a}\right\| < r

\left\|{c-a}\right\| = \left\|{c-b+b-a}\right\| \leq \left\|{c-b}\right\| + \left\|{b-a}\right\| < r-d+d = r

Para hacer esto se acotan dos cosas, primero que c-b < r-d ESTO ESTÁ PERFECTO
Pero después se acota b-a < d ¡DE DONDE SALE ESTO!

No veo que la distancia de "b" a "a" sea menor que "d". ¿Se entiende?

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#2 Quimey 2010-04-11 19:19

En realidad te falta decir de donde sacaste a d. Lo que tenes que decir es que tomas \(d=||b-a||\)

Firma

Quimey

#3 Andyvec 2010-04-11 23:33

Pero si digo \(d=||b-a||\) estoy fijando todo, al menos eso veo yo. Esto debería servir ara cualquier bola de centro b donde b esta en cualquier lado dentro de la bola más grande. Es más, lo que yo digo es que ni siquiera puedo afirmar que \(||b-a||<d\) como se usa en la demostración.

Hago un dibujo por si se pierden con las letras, disculpen lo desprolijo pero no estoy en mi PC y esta no tiene nada para dibujar (ni siquiera paint).

#4 Quimey 2010-04-12 00:26

Justamente, tenes que fijar todo salvo el b. Y es eso lo que estas haciendo, el dibujo esta perfecto y esta bien que el d dependa de b, lo que es importante es que el b es cualquiera de la bola.

#5 Andyvec 2010-04-12 00:51

Pero en el dibujo se ve que la distancia de "a" a "b" es siempre más grande que d ¿O me equivoco?

#6 Quimey 2010-04-12 01:31

ups! es que el dibujo esta mal, las llaves se tienen que tocar en b, d es la distancia entre b y a y r-d es la distancia entre b y el borde de la bola.

#7 Andyvec 2010-04-12 17:26

Quimey escribió:

ups! es que el dibujo esta mal, las llaves se tienen que tocar en b, d es la distancia entre b y a y r-d es la distancia entre b y el borde de la bola.

¡Claro! Muchas gracias, jejeje. Hoy lo consulté en la Práctica y me avivaron.