La verdad de la milanesa y de las integrales impropias

Hoy pensando un problema de un final de análisis me surgió la siguiente duda acerca de integrales impropias
Si tenemos una función impar, que la integramos entre +inf y -inf, que nos queda?
En principio uno dice, da cero, por que se me cancelan cada intervalo con su simétrico. Pero pensándolo con un poco más de cuidado, ese razonamiento es claramente falso, por que uno no puede hacer esas consideraciones con intervalos infinitos, o al menos habría que tener un poco de cuidado, ya que cuando trabajamos con infinitos es fácil dejarse llevar por la intuición y meter la pata. Supongamos que la función a integrar es \(f(x)=x\). Con el razonamiento anterior nos daría cero. Pero para mi esto no converge, o al menos no debería converger. Hablando un poco con algunos en lineal me dijeron que si tomaba lo que se llama valor principal de Cauchy, entonces si me da cero.OK, ahora surge otro problema, o por lo menos me surge a mi, pero la idea de este post es ver si alguien ya pasó por esto, o si alguien tiene alguna respuesta iluminadora, además es interesante para pensar. Como puede ser que depende de como tome los límites me de que una integral converja o diverja? eso me parece cuanto menos raro, y amerita pensar un poco.
Estuve buscando para tratar de entender un poco todo esto y encontré en wikipedia (perdón que está en inglés, en castellano no estaba la misma información) lo siguiente:
http://en.wikipedia.org/wiki/Improper_integral
http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_principal_value
Tiene cosas interesantes, por lo menos para seguir pensando en la discusión, aunque después se va un poquito al carajo y se torna complicado de entender.
La pregunta, es si ese tipo de integrales converge, diverge, ninguna de las dos o la pregunta es estúpida?
Ahí tira un par de criterios que sirven para algunas, pero para otras me da la sensación, si no entendí mal, que lo define para el valor principal de Cauchy y no le importan los otros casos, no digo que eso esté mal pues es una mera definición, pero está bueno cuestionarse si esa definición es la """ correcta"""" o si se puede llegar más al fondo de la cuestión

Espero que les interese, y que se copen a tirar sus opiniones al respecto. Si alguien tiene la posta, mucho mejor.

Un saludo

Daniel

No soy un experto en el tema, mas bien me acuerdo poco, pero creo que para decir que una integral es convergente debe existir el limite de la integral entre a y b cuando a y b tienden a menos infinito y a mas infinito resp. pero considerado como un limite doble.

Tambien puede ser que la definición de integral no sea la mejor. En analisis real (para los matematicos) se ve una definición de integral que existe para (casi) todas las funciones positivas (puede ser infinito) y si la funcion no es positiva se escribe a f como resta de dos positivas y se restan las integrales. El unico caso en donde esto no esta definido es cuando las dos partes dan infinito que es el caso de f=x
(busca integral de lebesgue)

Gracias por el dato, después leyendo más y con lo que hable con otra gente vi que para que sea integrable tienen que existir esos dos limites, el tema que es la confusión también surge por que igual le puedo calcular el valor principal aunque no converja.
Igual estaría bueno tener un poco más de idea de donde sale lo de valor principal, alguna ventaja/aplicación debería tener, más allá del hecho de que es más fácil de hacer la cuenta si tomás el intervalo simétrico.