[RESUELTO] P:{1} {10-c}

Calcular:

sup\(\lbrace({n}-3)/2^n : n \in \mathbb{N}\rbrace\)

sup=supremo

Editado 1 vez.

Fijate que los elementos del conjunto tienen asociada la sucesión \({a}_{n}\eq=\frac{n-3}{{2}^{n}}\) que verifica ser decreciente a partir de \(n\eq=4\):

Simplificando: De ahi que es creciente a partir de 4. De esta demostración, ves que en \(n\eq=1,2,3\) la sucesión decrece. En definitiva; esto te dice que \({a}_{4}\geq {a}_{n},\forall n\geq 4\). Luego, el supremo del conjunto debe ser mayor o igual que \({a}_{4},{a}_{3},{a}_{2},{a}_{1}\). Como justamente tenés cuatro elementos, el supremo es un máximo y es el más grande de \(\{{a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},{a}_{4}\}\eq=\{-1,-\frac{1}{4},0,\frac{1}{16}\}\). Luego el supremo(máximo en este caso) es \(\frac{1}{4}\)

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

exequiel131719 escribió:

Fijate que los elementos del conjunto tienen asociada la sucesión \({a}_{n}\eq=\frac{n-3}{{2}^{n}}\) que verifica ser decreciente a partir de \(n\eq=4\):

$${a}_{n}\eq=\frac{n-3}{{2}^{n}}\geq \frac{n+1-3}{{2}^{n+1}}\eq=\frac{n-2}{{2}^{n+1}}\eq={a}_{n+1}$$

Simplificando:

$$n-3\geq \frac{n-2}{2}\iff 2n-6\geq n-2\iff n-4\geq 0$$

De ahi que es creciente a partir de 4. De esta demostración, ves que en \(n\eq=1,2,3\) la sucesión decrece. En definitiva; esto te dice que \({a}_{4}\geq {a}_{n},\forall n\geq 4\). Luego, el supremo del conjunto debe ser mayor o igual que \({a}_{4},{a}_{3},{a}_{2},{a}_{1}\). Como justamente tenés cuatro elementos, el supremo es un máximo y es el más grande de \(\{{a}_{1},{a}_{2},{a}_{3},{a}_{4}\}\eq=\{-2,-\frac{1}{2},0,\frac{1}{4}\}\). Luego el supremo(máximo en este caso) es \(\frac{1}{4}\)

mmm, creo que los posibles valores son \(\{{-1},\frac{-1}{4}.{0},\frac{1}{16}\}\)

Me olvidé de elevar a la potencia. Ahi cambio.