Diferencial vs Gradiente

Hola otra vez..
Estoy luchando por entender que diferencia hay entre la Diferencial y el Gradiente: son la misma cosa? Es la diferencial el gradiente por el incremento cuando el incremento tiende a cero? Porque entonces en algunos libros dice son lo mismo, pero en otros dice que el gradiente vendria a ser la "derivada" en varias variables?

El gradiente es un tipo de diferencial. El diferencial es una matriz de mxn, cuando m=1 se llama gradiente (cuando te queda un vector renglón). Esto pasa en las funciones que van de \({\mathbb R}^{n}\) a \(\mathbb R\). El gradiente viene a ser la "derivada" en varias variables, te dice como cambia la función, el diferencial hace lo mismo.
Espero haber ayudado.

Entonces, la matriz diferencial \(Df\)dada por los gradientes de las distintas \(f_i\) de una F : Rn a Rm (no me anda bien el teclado, perdon) es la "generica" y \(Df_p(x)\) es el diferencial en el punto p con respecto a la direccion del vector x? Como es la notacion sino?

me parece que te estas confundiendo la idea de diferencial con la de derivada direccional, las derivadas direccionales son en tal punto con tal direccion, en la matriz diferencial siempre derivas cada componente con respecto a las variables independientes

Lo que me confunde es la terminologia que usarion en cursada: \(Df_p(\overrightarrow{x})\) que en otros lados, entiendo yo, escriben como \(Df(p) (\overrightarrow{x})\) (producto escalar), en donde seria\(Df(p) = \nabla f(p)\), pero entonce resulta que (si f es diferenciable,\(||\overrightarrow{x}|| = 1\))
\(Df_p(\overrightarrow{x}) = Df(p) (\overrightarrow{x}) = \langle Df(p), \overrightarrow{x} \rangle = \langle \nabla f(p) , \overrightarrow{x} \rangle =\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{x}}(p) = D_{\overrightarrow{x}} f(p)\), o sea, la derivada direccional con direccion del vector \(\overrightarrow{x}\) no?

Por tr lado, lo que me confunde es que en otro libro veo \(df(p) = \nabla f (p) . \overrightarrow{h}\), donde \(\overrightarrow{h} = (dx_{1}(p),dx_{2}(p),...,dx_{1}(n))\), y como en una variable \(df(p) = f'(p) . dx\) se puede hacer la analogia y pensar al gradiente como la generalizacion de la derivada, algo asi como un vector-derivada, y entonces digo "¿porque antes me dijeron que el diferencial era el gradiente (si\(f: \mathbb{R}^{n} \mathbb{R}\)) y ahora me dicen que es el gradeiente por el incremento cuando éste tiende a cero?"

Se entiende de donde viene mi duda?
De todas formas, capaz no estoy entendiendo bien el concepto en si de diferencial

Edit: Aca va otro ejemplo de lo que me confunde (copiado literal de mi carpeta):

Si \(f, g: A \subseteq \mathbb{R}^{n} \mathbb{R}\) son dferenciables en P (supongo \(P \in A^{\circ}\)), entonces

1. f+g es diferenciable en P y vale que

2. f.g es diferenciable en P y vale que
   \(D(f.g)_{p}(y) = g(p) . Df_{p}(y) + f(p) . Dg_{p}(y)\)
   \(\nabla (f+g)_p = g(p) . \nabla f_p + f(p) . \nabla g_p\)

y eso es lo que no entiendo porque esta puesto asi, porque aparece esa y multiplicando (la division esta con la misma notacion que la de la multiplicacion)

Tambien por otros lugares v la expresion \(Df(p) = Jf(p).h\), pero como decia mas arriba tenia que \(Df(p) = Jf(p)\)...