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Tema

Demostracion: Diferenciabilidad => Continuidad

3 respuestas 5896 visitas
#1 raben

Hola. Resulta que estoy estudiando para el final, pero tengo varios teoremas demostrados medioasinomas... (y no es que no lo pueda tomar de libros, sino que quiero completar la que me dieron en clases por si las moscas)
Queria saber si esta demostracion estaria bien:

Quiero probar que dado que \(f: A \subseteq \mathbb{R} ^n \Rightarrow \mathbb{R}\) diferenciable en P, el \(\lim_{X \rightarrow P} f(X) = f(P)\), o sea, que \(\lim_{X \rightarrow P} |f(X) - f(P)| = 0\)
Entonces:

$$0 \leq |f(X) - f(P)| \leq | f(X) - f(P) - \left< \nabla f_p , X-P\left> + \left< \nabla f_p , X-P\left>|$$
$$0 \leq |f(X) - f(P)| \leq | f(X) - f(P) - \left< \nabla f_p , X-P\left>| + | \left< \nabla f_p , X-P\left>|$$

Por Cauchy-Schwarz

$$0 \leq |f(X) - f(P)| \leq | f(X) - f(P) - \left< \nabla f_p , X-P\left>| + || \nabla f_p|| . ||X-P||$$
$$0 \leq |f(X) - f(P)| \leq \frac{ \left(| f(X) - f(P) - \left< \nabla f_p , X-P\left>| + || \nabla f_p|| . ||X-P|| \left) . || X - P||}{|| X - P||}$$
$$0 \leq |f(X) - f(P)| \leq \frac{ | f(X) - f(P) - \left< \nabla f_p , X-P\left>| . ||X-P||}{||X-P||} +\frac{|| \nabla f_p|| . ||X-P|| . ||X-P||}{|| X - P||}$$
$$0 \leq |f(X) - f(P)| \leq \frac{ | f(X) - f(P) - \left< \nabla f_p , X-P\left>| . ||X-P||}{||X-P||} +{|| \nabla f_p|| . ||X-P||}$$

Ahora,tomando limite,

$${\lim_{X \rightarrow P} 0 \leq \lim_{X \rightarrow P} |f(X) - f(P)| \leq \lim_{X \rightarrow P} \left( \frac{| f(X) - f(P) - \left< \nabla f_p , X-P\left>| . ||X-P||}{||X-P||} + {|| \nabla f_p|| . ||X-P||} \right)}$$

por el teorema de estriccion, como
\(\lim_{X \rightarrow P} 0 = 0\) y
\({\lim_{X \rightarrow P}\left( \frac{| f(X) - f(P) - \left< \nabla f_p , X-P\left>| . ||X-P||}{||X-P||} + {|| \nabla f_p|| . ||X-P||} \right)= 0}\) pues
\(lim_{X \rightarrow P} {|| \nabla f_p|| . ||X-P||} = 0\) ,
\(lim_{X \rightarrow P} \frac{| f(X) - f(P) - \left< \nabla f_p , X-P\left>|}{||X-P||} = 0\) por ser f diferenciable y

$$lim_{X \rightarrow P} ||X-P|| = 0$$

resulta que
\(\lim_{X \rightarrow P} |f(X) - f(P)| = 0\) y por lo tanto f es continua en P \(\Box\)

Disculpen el desorden de lo ultimo

#2 Yossarian

Parece estar bien...

yossa9001sello.png

#3 eugenio

No son necesarias las desigualdades, la demostración tiene que ser más sencilla. Sabemos que \(f:A\subseteq \Re^n\longrightarrow \Re^m\) es diferenciable en el abierto \(\Omega \subseteq A\) si existe una única transformación lineal \(T:\Re^n\longrightarrow \Re^m\) que verifica, \(\forall x\in \Omega\)

$$\lim_{v\rightarrow 0}\frac{|f(x+v)-f(x)-T(v)|}{||v||}=0$$

Multiplicamos por \(||v||\), que también tiende a cero, con lo que

$$\lim_{v\rightarrow 0}|f(x+v)-f(x)-T(v)|=0$$

\(T\) es una transformación lineal, por lo que \(T(v)\) tiende a cero cuando \(v\) tiende a cero. Entonces

$$\lim_{v\rightarrow 0}f(x+v)-f(x)=0\in \Re^m$$

es decir

$$\lim_{v\rightarrow 0}f(x+v)=f(x)$$
   f es continua

.

#4 exequiel131719

Yo lo escribiría un toque distinto:

$$||f(x+v)-f(x)||\leq ||f(x+v)-f(x)-T(v)||+||T(v)||\eq=\frac{||f(x+v)-f(x)-T(v)||}{||v||}||v||+||T(v)||$$
y acá tomar límite y decir lo que dijiste vos(la \(T\) es la transformación lineal de la definición) Perdón por ser molesto Saludos
Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities