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[Resuelto]Práctica 5 - Ejercicio 1

3 respuestas 5743 visitas
#1 Cloud
$$\textrm{i)Sea }a\in\mathbb{Z} \textrm{ tal que }a\equiv22(14) \textrm{. Hallar el resto de dividir a }$$
$$a \textrm{ por 2, por 7, y por 14.}$$
$$\textrm{ii)Sea }a\in\mathbb{Z} \textrm{ tal que }a\equiv13(5) \textrm{. Hallar el resto de dividir a }$$
$$33a^3+3a^2-197a+3 \textrm{ por 5.}$$
$$\textrm{iii)Hallar, para cada }n\in\mathbb{N} \textrm{, el resto de la division de }\sum_{i=1}^{n}(-1)^i.i! \textrm{ por }36.$$

\(i)\)

$$a\equiv\underbrace{22 (14)}_{ \textrm{Resto de dividir a a por 14}}\equiv 8(14)$$
$$a\equiv22 (14)\Rightarrow a\equiv22 (7) \textrm{, pues }7|14$$
$$a\equiv22 (7)\equiv1(7)$$
$$a\equiv22 (14)\Rightarrow a\equiv22 (2) \textrm{, pues }2|14$$
$$a\equiv22 (2)\equiv0(2)$$
$$ii)$$
$$33a^3+3a^2-197a+2$$
$$33\equiv3(5)$$
$$a^3\equiv3^3(5)\equiv2(5)$$
$$33a^3\equiv2\cdot3(5)\equiv1(5)$$
$$3\equiv3(5)$$
$$a^2\equiv3^2(5)\equiv4(5)$$
$$3a^2\equiv2(5)$$
$$197\equiv2(5)$$
$$a\equiv3(5)$$
$$197a\equiv1(5)$$
$$2\equiv2(5)$$
$$33a^3+3a^2-197a+2\equiv1+2-1+2(5)\equiv4(5)\rightarrow \textrm{Resto}$$
$$iii)$$
$$\textrm{Para }n=1:$$
$$-1\equiv35(36)$$
$$\textrm{Para }n=2:$$
$$-1+2=1\equiv1(36)$$
$$\textrm{Para }n=3:$$
$$-1+2-6=-5\equiv31(36)$$
$$\textrm{Para }n=4:$$
$$-1+2-6+24=19\equiv19(36)$$
$$\textrm{Para }n=5:$$
$$-1+2-6+24-120=-101\equiv7(36)$$
$$\textrm{Para }n=n+4:$$
\(\sum_{i=1}^{n+4}(-1)^i.i!\equiv7(36)\)
Firma

111dz1.gif

#2 tincho
$$iii)$$
$$\textrm{Para }n=1:$$
$$-1\equiv35(36)$$
$$\textrm{Para }n=2:$$
$$-1+2=1\equiv1(36)$$
$$\textrm{Para }n=3:$$
$$-1+2-6=-5\equiv31(36)$$
$$\textrm{Para }n=4:$$
$$-1+2-6+24=19\equiv19(36)$$
$$\textrm{Para }n=5:$$
$$-1+2-6+24-120=-101\equiv-29(36)$$
$$\textrm{Para }n=6:$$
$$-101+720=619\equiv7(36)$$

y asi se llega a que para n >= 5 impar el resto es -29
y que para n>= 6 pares el resto es 7
=) ...

mi primer aporte fuera dl foro humor ...
=P ...

tincho ...

la demostracion, cucu, ni idea d cmo hacerla ..

#3 floyd

Una aclaracion: el resto es siempre positivo. Luego tenes que siempre a partir de n>=5 el resto es 7.
La demostracion se puede hacer por induccion, aunque yo no la hice. Pero si lo "miras fijo" (no se porque los matematicos miran todo fijo) los terminos de la sumatoria a partir del 6to (inclusive) son siempre divisibles por 36. Esto es porque en la factorizacion del numero i! aparecen al menos un 2^2 y un 3^2 (o sea un 36). Cuando hagas la sumatoria completa, la separas en 2: la primera desde 1 hasta 5, y la segunda desde 6 hasta n. Cuando tomes congruencia mod 36, te queda que la primera sumatoria es congruente a 7, y la segunda, cualquiera sea n (siempre mayor que 5) es congruente a 0 por tener todos sus terminos multiplos de 36.

Saludos!

PD: perdon por no usar tex, igual no hay mucha formula 😄

Firma

God´s in his Heaven. All´s right with the world.

#4 Cloud

siii... hoy estube viendo q se podria haber probado por induccion...

otra cosa... lo q puso tincho no esta del todo mal.. xD

a es le keda -29 con los impares o algo asi... pero \(-29 \equiv 7 (36)\) XXDDDDDD

Saludos