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[Resuelto] Práctica 2 - Ejercicio 19)i)

7 respuestas 8664 visitas 2008-10-09

#1 cremita 2008-10-09 18:52

Buenas! Me preguntaba si podrían darme una mano con este ejercicio. Gracias de antemano! Saludos ^^

\textrm{Sea ${({a}_{n})}_{n \in \mathbb{N}}$ la sucesion}

{a}_{1}=1, \hspace{2cm} {a}_{2}=3, \hspace{2cm} {a}_{n+2}={a}_{n+1}+{5a}_{n}

\textrm{Probar que ${a}_{n}<1+{3}^{n-1}$ para todo n $\in \mathbb{N}$}

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#2 Yossarian 2008-10-10 03:48

Ahí va, saludos.

A mano es obvio que la afirmación vale tanto para 1 como para 2. Vamos a probar por inducción en los siguientes casos.

Mi hipótesis inductiva (HI) es que $a_k < 1 + 3^{k-1}$ para todo $k<n$. Quiero ver que entonces vale para n.

Sabemos que $a_n = a_{n-1} + 5a_{n-2}$. Como $a_{n-1} < 1 + 3^{n-2}$ y $a_{n-2} < 1 + 3^{n-3}$, tenemos que $a_n < 1 + 3^{n-2} + 5 (1 + 3^{n-3})= 6 + 3^{n-2} + 5 \cdot 3^{n-3} = 1 + 3^{n-1} \left( \frac{5}{3^{n-1}}} + \frac{1}{3} + \frac{5}{9}\right) = 1 + 3^{n-1} \left( \frac{8}{9} + \frac{5}{3^{n-1}}}\right)$, con lo cual, nos bastaría con que $\frac{5}{3^{n-1}} < \frac{1}{9}$ para poner un 1 en lugar de esa suma de fracciones. Eso es equivalente a pedir que $5 < 3^{n-3}$, y eso pasa si $n \geq 5$. Entonces nos encontramos con un problema... nuestro paso inductivo solo funciona si $n > 4$... oh no, y ahora, ¿quién podrá ayudarnos?

Obviamente, la solución es demostrar a mano hasta el caso n = 4. A partir de ahí, podemos aplicar nuestro paso inductivo y todo sale bonito 😄.

#3 cremita 2008-10-12 21:16

Muchas gracias por la resolución!!! Después lo seguí pensando, lo resolví de otra manera (creo) y me preguntaba si está bien también:

$\textrm{Supongo: ${a}_{k} < 1 + {3}^{k-1} \hspace{1cm} \forall k \in \mathbb{N} / k \leq n$}$

\textrm{Quiero probar: ${a}_{n+1} < 1 + {3}^{n}$}

{a}_{n+1} = {a}_{n} + {5a}_{n-1} < 1 + {3}^{n}

\textrm{Por hipotesis inductiva:}

{a}_{n} + {5a}_{n-1} < 1 + {3}^{n-1} + {5a}_{n-1}

\textrm{Quiero ver cuando: $1 + {3}^{n-1} + {5a}_{n-1} < 1 + {3}^{n}$}

{a}_{n-1} < \frac{2}{15} {3}^{n}

\textrm{Por hipotesis inductiva: ${a}_{n-1} < 1 + {3}^{n-2}$}

\textrm{Quiero ver cuando: $1 + {3}^{n-2} < \frac{2}{15} {3}^{n}$}

45 < {3}^{n}

$$3 < n$$

$\textrm{Y como vale para n=3, n=2 y para n=1 $\Rightarrow$ vale $\forall n \in \mathbb{N}$}$

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#4 Yossarian 2008-10-12 22:30

Ojo! Como vos decís, $45< 3^n$ si y solo si $n>3$. Entonces, necesitar probar a mano HASTA EL CASO $n=3$. A partir de ahí tu argumento inductivo sirve. Saludos!

#5 Quimey 2008-10-13 02:45

No estoy muy seguro pero me parece que habria que demostrar a mano hasta n=5 y 4 resp.

Firma

Quimey

#6 cremita 2008-10-13 08:01

Muchas gracias nuevamente por la ayuda!!! Que tengo que hacer a mano hasta el 3 inclusive me cierra, la verdad que se me pasó mal y espero no me suceda en el parcial... pero no entiendo por qué debería hacer hasta el 5?!

#7 Yossarian 2008-10-13 13:31

Fijate que vos querés usar que $a_{n-1} < bla$. Eso quiere decir qe vos querés esa cota para $n-1$. Como vos sabés que vale a partir de 3, vos querés que $n-1 > 3$, es decir, $n>4$.

#8 Quimey 2008-10-13 15:41

Tenes razon, me parece que me equivoque. Yo lo pienso con las fichas de domino 🙂 y es mas claro lo que hay que hacer