[No resuelto] Practica 3 Ejercicio 18

Sea A un conjunto de 3n elementos. ¿Cuantas relaciones de equivalencia pueden definirse en A que cumplan la condicion de que para todo "a perteneciente a A" la clase de equivalencia de a tenga n elementos?

Acá va, propongo dos soluciones.

Tener una relación de equivalencia es lo mismo que tener al conjunto dividido en clases de equivalencia, es decir, tenerlo dividido en familias disjuntas cuya unión sea todo el conjunto. La condición pide que todas esas clases de equivalencia tengan n elementos, así que la pregunta es "de cuántas maneras se puede partir un conjunto de 3n elementos en tres familias de n elementos?"

Como de costumbre, hay mil formas de hacerlo; yo lo pensé así:

supongamos por ejemplo que \(n = 2\). Entonces tenemos \(6\) elementos, llamémoslos \(1, 2 \ldots 6\). Bien, entonces cada clase debe tener dos elementos. Si yo pongo los elementos en algún orden, digamos \(1,3,6,2,5,4\), puedo suponer que eso representa la división \({1,3};{6,2};{5,4}\). Entonces para cada manera de ordenar los 6 = 3 \cdot 2 dígitos, tengo una división. Esto da unos \((3n)!\) casos.

Pero estoy repitiendo casos, porque por ejemplo \({1,3};{6,2};{5,4} = {3,1};{6,2};{5,4}\). Tengo que dividir por todas las posibles repeticiones, que están dadas por permutar los dígitos que estan en los primeros \(n = 2\) lugares, y por las permutaciones en los segundos \(n\) lugares, y en los terceros \(n\) lugares. Esto da \(\frac{(3n)!}{n!n!n!}\) casos.

Todavía estoy repitiendo algunos casos, por ejemplo \({1,3};{6,2};{5,4} = {6,2};{5,4};{1,3}\). Como esto está dado por las formas de ordenar las tres clases de equivalencia, esto da \(\frac{(3n)!}{3!n!^3}\) casos. Esa debería ser la respuesta correcta.

Para comprobarlo, lo puedo pensar de otra forma. Primero elegimos la primera clase de equivalencia, es decir, elegimos n elementos de entre los 3n. Esto lo puedo hacer de \(\binom{3n}{n}\) formas. Después elegimos la segunda, que lo podemos hacer de \(\binom{2n}{n}\), y la tercera está prefijada. Otra vez, tenemos que eliminar las repeticiones por el orden en que elegimos las clases de equivalencia. Así, la cuenta da \(\binom{3n}{n} \binom{2n}{n} \cdot \frac{1}{3!} = \frac{(3n)!}{3!n!^3}\). Daría la impresión de estar bien.