Practica 4/2013 (Enteros II) - Ejercicios varios

Estaba poniendome al dia con las practicas y me tope con un par de ejercicios en los que me quedaron dudas o no veo como aplicar los teoremas:

9. Hallar todos los \(a \in \mathbb{Z}\) tales que:

Aca factorizando \(15 = 5.3\) tenemos que \(V_5 (15) = 1 \Rightarrow V_5 ((a^2 + 3)(7a - 2)) \geq 1\) Basta probar que 5 divide a la expresion con un a en particular? (tomando congruencia a 0 mod 5 y evaluando los posibles modulos de a resulta ser que \(a \equiv 1 (5) \Rightarrow 5 | (a^2 + 3)(7a - 2)\) )

19. Probar \(\forall a \in \mathbb{Z} 728 | a^27 - a^3\)
    Factorizando \(728 = 2^3 . 7 . 13\)
    Por TCR si \(a^27 \equiv a^3 (728)\) entonces se cumplen simultaneamente

A partir de aca como se seguiria? Que habria que aplicar?

20. Hallar todos los \(n \in \mathbb{N}\) tales que \(7^n \equiv 5(13)\)
    Este de movida no supe para donde arrancar.

En el primero tendrias que pedir también, los que son congruentes \(a\equiv 1 (3)\) y \(a \equiv 2(3)\), para decir que 3 no divide y de ahi hacer TCR con \(a \equiv 1 (5)\). Por ejemplo, con lo que vos pusiste si a = 21, entonces \(a \equiv 1 (5)\), pero el mcd es 15 no 5.

Para el 20, yo evaluaria a mano hasta n = 12, porque ya sabes que como 7 es coprimo con 13, por el pequeño teorema Fermat, a partir de n = 13 se vuelven a repetir los restos, ya que \(7^{12} \equiv 1 (13)\).

Gracias, un par de consultas mas tarde salieron esos. Va otro, que tampoco me queda claro que conceptos aplicar para hacerlo mas manejable:

Calcular el resto de la division de \(\sum_{i=1}^{1759} i^{42}\) por 56
Venia pensando un par de cosas pero no me llevaron a nada util.

Te alcanza con conocer el resto modulo 7 y modulo 8.

Firma

Quimey

A algo asi habia llegado factorizando el 56, pero como se calcula el resto de de una sumatoria de ese estilo?

\(i^{42}\mod m\) solo depende del resto de i modulo m.

Ok, hasta ahi vamos bien... A lo que habia llegado era:

si 2 no dividie a i => (2:i)=1
Puedo usar el corolario de ferma:
Si p primo,

Entonces \(i^{2^2} \equiv 1 (8)\), y luego \(i^{42} \equiv i^2\)

Para el otro, si 7 no divide a i, \(i^{42} \equiv 1\) por fermat.

Lo que no me queda claro es como juntar todo esto para una sumatoria. Osea, estos son los restos para ciertos ies, no habria que sumarlos y tomar el resto de esa suma?

Sî. Ya sabes cuales son los posibles restos, lo unico que te falta es contar cuantas veces aparece cada uno, multiplicar y sumar.