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Práctica 3; ejercicio 19. iv)

5 respuestas 8427 visitas 2012-07-25

#1 Rush 2012-07-25 17:41

Probar que \(\sum_{0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}\)

Trato de hacerlo por inducción y me trabo en seguida:

\(\sum_{0}^{n+1} \binom{n+1}{k}^2\), no veo cómo sacar el \(n+1\) del combinatorio para llegar a la H.I.

Ya probé usando las dos propiedades:

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

pero no me sale e.e

#2 fmartin 2012-07-25 18:01

Acá hay una demo combinatoria y una por inducción. La demo por inducción parece ser un bajón. La demo combinatoria es, de hecho, la solución a este problema.

#3 Quimey 2012-07-25 18:28

Usando la sugerencia (y un poco de magia):
\(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{n}{n-k}\)
Si lo pensás un rato esto se parece al producto de dos sumatorias. Eso te inspira a:

(1+x)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k = \sum_{l=0}^n \binom{n}{l} x^l

Por lo tanto

(1+x)^{2n}=(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k )( \sum_{l=0}^n \binom{n}{l} x^l)= \sum_{u=0}^{2n} (\sum_{k+l=u} \binom{n}{k}\binom{n}{l})x^u

Además

(1+x)^{2n}=(\sum_{u=0}^{2n} \binom{2n}{u} x^u )

Igualando el coeficiente de \(x^n\) en las dos sumas te sale el ejercicio.

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Quimey

#4 Rush 2012-07-25 19:22

Está buena la solución de las rejas... pero ni loco se me ocurriría pensar en algo así jaja.

Quimey, qué quisiste decir con "Igualando el coeficiente de \(x^n\) en las dos sumas..."??? Te seguí en todo menos en eso.

#5 Quimey 2012-07-25 19:49

Las dos sumas representan al mismo polinomio y por lo tanto tienen que tener el mismo coeficiente de x^n.

#6 Rush 2012-07-29 18:35

Ahí te entendí ja

el término \(n\) del primero es igual al término \(n\) del otro.