P:2 - Ej.18 i) [No Resuelto]

18 i) Sea \(({a}_{n})\) la sucesión definida por:
\({a}_{1} = 1\), \({a}_{2} = 3\), \({a}_{n+2} = {a}_{n+1} + 5{a}_{n}\)
Probar que \({a}_{n} < 1+{3}^{n-1}\)

Creo que lo que hice está mal, no supe como demostrarlo de entrada, intenté calcular {a}_{n} pero no pude ni por asomo.
Para este ejercicio supuse que si \({a}_{n}\) y \({a}_{n+1}\) son ciertas entonces \({a}_{n+2}\) tmb lo es.
Agarré \({a}_{n+1} < 1+{3}^{n}\) y le sumé \(5{a}_{n}\) de los dos lados, por lo tanto me quedó: \({a}_{n+2} < 1+{3}^{n} +5{a}_{n}\)

Como quiero probar que \({a}_{n+2} < 1+{3}^{n+1}\) quiero ver que \(1+{3}^{n} +5{a}_{n} < 1 + {3}^{n+1}\) operando llego a: \({a}_{n}<\frac{2}{5} {3}^{n}\) ahora tengo que ver si esto se cumple, y tengo que \({a}_{n} < 1+{3}^{n-1}\) planteo: \(1+{3}^{n-1}<\frac{2}{5} {3}^{n}\) y llego a \(1<\frac{{3}^{n}}{15}\) (que se cumple para \(3\leq n\) ahi demostré lo que quería por inducción? es valido lo que hice?

PD: \(P(1) y P(2)\) son verdaderas

Sí, está bien.
Ah, si el paso inductivo vale para \(n \geq 3\), deberías probar que son verdadera \(P(3)\) y \(P(4)\) (esos dos serían tus casos base). Con eso probás, por inducción, que la propiedad vale para todo \(n \geq 3\)
Si además probaste a mano que vale para \(n=1\) y \(n=2\), entonces la propiedad vale para todo \(n\)