Hola gente, estoy practicando complejos para el final del lunes y me tope con un ejercicio que no me sale y casi me esta por agarrar la pataleta... Dice:
$$$Hallar Todos los $ Z \in \mathbb{C} $ tales que$$$
$$z^{12} + z^6 + 1 = 0$$
Agradezco mucho si me dan una pista de como comenzarlo porque no se me ocurre 🙁 ... Se me ocurren cosas que no me sirven en el hecho de que no puedo sumar números en forma trigonométrica, como por ejemplo pasar el 1 al otro miembro y despues hacer factor común \(z^2\) hacer cambio de variable y resolver la cuadratica, pero sigo teniendo el mismo problema porque me quedara \(z^{10} + z^4 = W\)
Tomas \(x=z^6\) y te queda resolver entonces:
\(x^2+x^1+1=0=\frac{(x^3-1)}{(x-1)}\) ie, buscas las raices cubicas de la unidad, que no son \(1\).
Luego tus soluciones son \(x_0\),\(x_1\) las raices cubicas de la unidad distintas de \(0\). Volves a la variable \(z\)
y te queda que\(x_0=z^6\) y \(x_1=z^6\) y ahi obtenes las 12 soluciones.
Tambien podriamos haber hecho la vista gorda en el polinomio original pensandolo.
\((x^6)^2+(x^6)^1+(x^6)^0=\sum_0^2 (x^6)^i\) que por la suma geometrica queda
\((x^6)^2+(x^6)^1+(x^6)^0=x^{12}+x^6+1= \frac{(x^6)^3-1}{x^6-1}=\frac{x^{18}-1}{x^6-1}\) Luego, las soluciones al polinomio son las raices 18-avas de la unidad que no son raices sextas de la unidad.
Y estas las sacas viendo que una raiz 18-ava de la unidad es:
$$z_k=e^{\frac{2k\pi}{18}}=e^{\frac{k\pi}{9}}$$
Y las sextas de la unidad:
$$z_m=e^{\frac{2m\pi}{6}}=e^{\frac{m\pi}{3}}$$
Luego, si \(k=3.L\) con \(L\)=0,1,2,3,4,5, \(z_k=z_m\) para algun \(m\)
En general, las raices que estan en \(G_m\) y \(G_n\) son las de \(G_{(n:m)}\)