Hola chicos este es mi primer post espero me puedan ayudar! gracias
probar que las siguientes igualdades son verdaderas para todo n
$$\sum_{i=1}^{n}\frac{i {2}^{i}}{ (i+1) (i+2)}$$
$$P(1)= \frac{1}{3}$$
$$P(n)\Rightarrow P(n+1)$$
tengo que probar \(\sum_{i=1}^{n+1}\frac{i {2}^{i}}{ (i+1) (i+2)}= \frac{2^{(n+1)+1}}{(n+1)+2}-1\)
lo que yo hice es o siguiente
\(\sum_{i=1}^{n+1}\frac{i {2}^{i}}{ (i+1) (i+2)}=(\sum_{i=1}^{n}\frac{i {2}^{i}}{ (i+1) (i+2)})+[\frac{(n+1){2}^{(n+1)})}{(n+1+1)(n+1+2)}]=\) por HI
\(\frac{2^{n+1}}{n+2}-1+\frac{2^{n+1}(n+1)}{n^2+5n+6}=\) saco factor común
$$\frac{(n^2+5n+6)(2^{(n+1)})+2^{(n+1)}(n+1)(n+2)}{(n+2)(n^2+5n+6)}-1=$$
$$\frac{2^{(n+1)}[(n^2+5n+6)(n^2+3n+2)]}{n^3+7n^2+16n+12}-1=$$
$$\frac{2^{(n+1)}(2n^2+8n+8)}{n^3+7n^2+16n+12}-1=$$
$$\frac{2^{(n+1)}2(n^2+4n+4)}{n^3+7n^2+16n+12}-1=$$
$$\frac{2^{(n+2)}(n^2+4n+4)}{n^3+7n^2+16n+12}-1$$
Y ahora lo de abajo lo tengo que hacer\((n^2+4n+4)=(n+2)^2\) por algo para suprimirlo con lo de arriba y que me quede (n+3), que es lo que quiero probar, pero no me sale o no se puede, no se
espero no haberme equivocado mucho...