Buenas, dejo uno de los últimos de la práctica 5.
Sean \(n \in \mathbb{N}\) y \(a \in \mathbb{Z}\) tales que \(( {5}^{n+1} - {9}^{n} : {9}^{n+1} + 39a{5}^{n}) = 22\). Hallar el resto de la división de \(a\) por 44.
gracias!!
Tema
[A Resolver] Práctica 5 (2009) - Ej 31
Hola! esto es lo que yo pensé.
$$22= ( {5}^{n+1} - {9}^{n} : {9}^{n+1} + 39a{5}^{n})$$
Luego \(22 \vert 9({5}^{n+1} - {9}^{n})+{9}^{n+1} + 39a{5}^{n}\)
$$9({5}^{n+1} - {9}^{n})+{9}^{n+1} + 39a{5}^{n}=9*{5}^{n+1}+39a5^n= 5^n(45+39a)$$
Como 22 y 5 son coprimos, sigue que \(22 \vert 45+39a\)
$$\Longleftrightarrow 39a+45 \equiv 0 (22)$$
$$\Longleftrightarrow 39a \equiv 21 (22)$$
$$\Longleftrightarrow 17a \equiv 21 (22)$$
Usando algoritmo de Euclides o a ojo encontrás que -9 es el inverso multiplicativo de 17 módulo 22, y obtenés:
$$(-9)17a \equiv (-9)21 (22)$$
$$\Longleftrightarrow a \equiv 13 (22)$$
Como 22=2*11, sigue que:
\(a \equiv 13 (11)\) y
$$a \equiv 13 (2)$$
Luego, como a es impar, debe ser:
\(a \equiv 13 (11)\) y
$$a \equiv 1 (4)$$
o
\(a \equiv 13 (11)\) y
$$a \equiv 3 (4)$$
Y te quedan dos sistemas con solución única por teorema chino del resto.
Luego restaría ver que las soluciones que encontraste verifiquen el enunciado.
Espero haber sido de ayuda.
Nina.
Firma
Nina
gracias Nina!.. no se me había ocurrido encararlo asi 😄
Hola!
Quería hacer una pequeña corrección de las cuentas 😛
Nina escribió:
Usando algoritmo de Euclides o a ojo encontrás que -9 es el inverso multiplicativo de 17 módulo 22, y obtenés:
$$(-9)17a \equiv (-9)21 (22)$$$$\Longleftrightarrow a \equiv 13 (22)$$
Ahí en realidad te queda
$$(-9)17a \equiv (-9)21 (22)$$
$$(-9)(-5)a \equiv (-9)(-1) (22)$$
$$45a \equiv 9 (22)$$
$$\Longleftrightarrow a \equiv 9 (22)$$
O sea que los dos sistemas te quedan
\(a \equiv 9 (11)\) y
$$a \equiv 1 (4)$$
o
\(a \equiv 9 (11)\) y
$$a \equiv 3 (4)$$
Pero en realidad posteo para agradecerle a Nina, porque yo tampoco sabía como hacer esta última parte del ejericio, y me re ayudó el post! 🙂
Saludos!