ii)Si \(2^n - 1\) es primo entonces n es primo
iii)Si \(2^n + 1\) es primo entonces n es una potencia de 2
Tema
[No resuelto]Practica 4 Ejercicio 8
Una de las posibles es usando el contrarecíproco: si \(n\) no es primo entonces \({2}^{n}-1\) no es primo. En efecto, si \(n\eq=q\cdot m\) con \(q,m\) distintos de \(1\), naturales, te queda
$${2}^{qm}-1\eq={({2}^{q})}^{m}-1$$
Y usando un ejercicio de la práctica que te decía \(a-b|{a}^{n}-{b}^{n}\)... tenés que \(1\neq {2}^{q}-1|{2}^{qm}-1\) con lo que \({2}^{n}-1\) no es primo.
El otro sale de manera parecida
Fijate si sirve. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
El iii) no me queda tan claro. Cómo relacionás que \(\textrm{ $a + 1 | a^n + 1$ si n es impar }\) con el enunciado??
Escribimos \(n=2^a b\) con b impar. Si n no es potencia de 2 entonces \(b\neq 1\). Ahora \(2^n+1=2^{2^a b}+1= (2^{2^a})^b+1\) que es divisible por \(2^{2^a}+1\).
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Quimey
$$\textrm{ si n no es una potencia de 2 $\Longrightarrow 2^n + 1$ es compuesto. }$$
Gracias Quimey, muy claro.