[Resuelto]Ejercicios AdiicionalesI Ejercicio 24

Sea \({(a_n)}_{n \in \mathbb{N}}\) la sucesion definida por:
\(a_1\) = 2 , \({a}_{n+1} = 3a_n - 1\) \((n \in \mathbb{N})\)
probar que \((a_n : {a}_{n+1}) = 1 \forall n \in \mathbb{n}\)

P(1): (2:5)= 1 ok
P(k)=>P(k+1)
qvq ({a}{k+1}:{a}{k+2}) = 1

ahora busco los posibles d: \(d|3a_k-1\) => \(d|-3(3a_k-1) = -9a_k+3\) \(d|-9a_k+4\) ^ \(d|9a_k-4\) => \(d|-1\)

\(d|3a_k-1\) =>\(d|-12a_k+4\)
\(d|-12a_k+4\) ^ \(d|9a_k-4\) => \(d|-3a_k\)

luego \(d|(-1:-3a_k)=(1:3a_k) = 1\) ok

esta bien? o mande fruta en la sustitucion?

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Ese ejercicio lo vi en un final, se lo fui a preguntar a un profesor y dijo que debía de estar mal el enunciado, porque sale usando solamente la propiedad que dice que si \(d|a\) y \(d|a+b\) entonces \(d|b\).

Vos querés ver que \(({a}_{n}:{a}_{n+1})=1\)
Por definición de \({a}_{n}\), \(({a}_{n}:{a}_{n+1})=({a}_{n}:3{a}_{n}-1)\).
Supongamos que el mcd es distinto de \(1\), es decir que existe \(p\) primo tal que \(p|{a}_{n}\) y \(p|3{a}_{n}-1\).

Como \(p|{a}_{n}\) y \(p|3{a}_{n}-1\). entonces \(p|-1\). Absurdo. Luego \(({a}_{n}:3{a}_{n}-1)=1\)

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$$\bigstar Sofi \bigstar$$

no se me ocurrio hacerlo por ese lado, igual, como q al final lo termino aplicando,
a lo q yo me voy es si hago bien en aplicar "sustitución"

No sé a qué sustitución te referís 😐

Está bien lo que hiciste (en una parte debería decir \(d|-9{a}_{k}+3\) y dice \(d|-9{a}_{k}+4\), fuera de eso está bien).
Igualmente fijate que lo quisiste probar por inducción y en ningún lado usaste la hipótesis inductiva, o sea, no hace falta la inducción para probarlo.