Tema
Sean a, b \(\in \mathbb{Z}\) tales que \((a:b)=7^2\)
probar que \((a^2b:7^4(a^2+b^2))=7^6,7^7o7^8\)
yo hice lo siguiente:
como \((a:b)=7^2 => a=7^2k\) y \(b=7^2q\)
luego \((a^2b:7^2(a^2+b^2))\) =
\((7^4k^27^2q:7^4(7^4k^2+7^4q^2))\)=
\((7^6k^2q:7^67^2(k^2+q^2))\) =
Vas bien... lo que pide el enunciado es que pruebes que el MCD no puede ser algo distinto de \(7^6\), \(7^7\) y \(7^8\)
O sea, con lo que pusiste vos, faltaría ver que no hay ningún primo distinto de \(7\) que divida a \((k^2q:7^2(q^2+k^2))\) y que \(7^3\) no divide a \((k^2q:7^2(q^2+k^2))\).
Con probar eso ya está.
Una cosa que no aclaraste, por como los definiste \((k:q)=1\) (supongo que eso es lo que te va a ayudar a probar lo que falta)
gracias bueno lo semi-termino porque hay algo q no me cierra
supongamos que existe p primo p distinto de 7 tal que
\((k^2q:7^2(q^2+k^2)) = p\) <=> \(p|a^2q\) ^ \(p|7^2(q^2 + k^2)\)
como p es primo y q es coprimo con k:
\(p|a^2q\) => \(p|k\) o \(p|q\)
por otro lado como p es primo y no divide a 7 => p|q² + k²
volviendo
supongamos que p|k, como \(p|k^2 + q^2\) y \(p|k\) => \(p|q\)
absurdo, porque k y q con coprimos, lo mismo suponiendo q p divide a q,
luego no existe p primo tal p=(...:...)
ahora veamos q 7³ no es el mcd
supongamos q si
luego \(7^3|k^2q\) y \(7^3|7^2(k^2 + q^2)\)
\(7^3|7^2(k^2 + q^2)\) <=> \(7^2(k^2 + q^2) \equiv 0 (7^3)\) <=>
aplicando(\(a\equiv b(m)\)<=>\(a.c\equiv b.c (m.c)\))\(7|k^2+q^2\)
luego, en el otro termino:
\(7^3|k^2q\) como k y q son comprimos => 7|k y 7 |q
y todo se resume a lo mismo q lo q hice con el p primo
bueno, lo q no me queda claro es en q te basas de q 7³ no tiene q ser mcd, no deberia ser \(7^n, n>=3\)
ademas en \((k^2q:7^2(q^2+k^2))\) queda claro que \(k^2q\) no es divisible por 7 entonces queda que el mcd es 7⁶ solamente,
bueno espero no haber mandado fruta
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Está bien la idea.
Digo que basta ver que \(7^3\) no divide, porque si eso no divide, \(7^4\) no divide, ni \(7^5\), etc...
Pensalo en el caso de \(2\)... si un número no es par (si no es divisible por \(2\)), tampoco va a ser divisible por \(4\), ni por \(8\)...
gracias ^^