Ejercicio 37 practica 4 (resuelto)

i)\(Sea\,a\in\mathbb{Z}\,tal\,que\,(a:25)=5.Calcular\,(a^4+3a+5^{232}:150)\)
ii)\(Sean\,a,b\in\mathbb{Z}\,tales\,que\,(a:b)=2.Calcular\,(a^2+b^2:84)\)

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Hola,

no se te ocurre que podés hacer?
El primer paso es coprimizar a y 25. a' = a/5.
a'.5 = a, 5.5 = 25

luego reemplazamos en lo que queremos averiguar:

( 5⁴.(a')⁴ + 3.5.(a') + 5²³² : 5².3.2)

Sacamos factor comun 5 en ambos lados..
5.(5³.(a')⁴ + 3.(a') + 5²³¹ : 5².3.2)
Bien, ya tenemos que d=5 no puede ser un divisor común (porque 5 no puede dividir a 3.(a') pero si a los otros dos), luego, (d:5) = 1, entonces d|3.2
d está en: {1, 2, 3}
Bueno, finalmente te fijas las congruencias modulo 2 y modulo 3, y hacés una tablita de valores para las posibles congruencias de (a') y listo, si 3 o 2 no divide a lo de la izquierda, 1=d, finalmente se deduce que ( 5⁴.(a')⁴ + 3.5.(a') + 5²³² : 5².3.2) = 5.d = 5.1