Hallar una formula para el termino general de las siguientes suceciones:
a) \(a_1 = 1, \: a_{n+1}= a_n + n^3\)
b) \(a_1 = 1, \: a_{n+1}= a_n + (-1)^{n+1}n^2\)
c) \(a_1 = 1, \: a_{n+1}= (2n +1)3^{n-1}\)
Sugerencia: usar
P2E15.i) \(\sum_{i=1}^n{a_{i+1}-a_i} = a_{n+1} - a_1\)
P2E6.i)\(\sum_{i=1}^n{i^3}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)
P2E6.ii)\(\sum_{i=1}^n{(-1)^{n+1}n^2} = \frac{(-1)^{n+1}n(n+1)}{2}\)
P2E6.iv)\(\sum_{i=1}^n{(2n +1)3^{n-1}} = n.3^n\)
Trato de hacer el a)
$$a_1 = 1$$
$$a_{n+1}= a_n + n^3$$
$$a_{n+1} - a_n = n^3$$
$$\sum_{i=1}^n{\left(a_{i+1} - a_i\right) } + a_1 - a_n = n^3$$
$$\sum_{i=1}^n{i^3} + a_1 - a_n = n^3$$
$$\frac{n^2(n+1)^2}{4} + 1 - a_n = n^3$$
$$\frac{n^2(n+1)^2}{4} + 1 - n^3= a_n$$
$$\frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{4}{4} - \frac{4.n^3}{4} = a_n$$
$$\frac{n^2(n+1)^2 + 4 - 4.n^3} {4} = a_n$$
$$\frac{n^2(n+1)^2 + 4 - 4.n^3} {4} = a_n$$
$$\frac{n^2(n^2+2n +1) + 4 - 4.n^3} {4} = a_n$$
$$\frac{n^4+2n^3 +n^2 + 4 - 4.n^3} {4} = a_n$$
$$\frac{n^4 - 2n^3 +n^2 + 4} {4} = a_n$$
$$\frac{n^2 (n^2 - 2n + 1) + 4} {4} = a_n$$
$$\frac{n^2 (n - 1)^2 + 4} {4} = a_n$$
La demo no la hago porque no tengo mas tiempo. Si ven que esta mal, por favor corrijanme (lo fui haciendo en el momento, no me había salido cuando lo hice en papel)