[A resolver] Practica 7 ejercicio 17 (iv)

bueno este si q no c como hacer jejje

aca dejo el enunciado espero ayudas:

Sea f perteneciente a\(\mathbb{Q}[x]\) tal que \(f(1+\sqrt2)=3, f( 2-\sqrt3)=3 , f(1+\sqrt5)=3\). Calcular el resto de la división de f por \(({x}^{2} - 2x - 1) ({x}^{2} - 4x +1) ({x}^{2} - 2x-4)\)

Desde ya muchas gracias XD 😄

Firma

Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"

Buen, llegue hasta un punto y nose como seguir :
Los puntos donde estas evaluando F
\((1+\sqrt2)(2-\sqrt3)(1+\sqrt5)\) son casualmente 3 raices del otro polinomio (desde ahora g(x) ),

y las otras 3 son los conjugados :

El querer dividir a F por g(x), significa:

\(F = g(x)\cdot q + r\) con r de grado 5 o menor (porq g(x) es de grado 6)

Y con esto puedo decir que (algo parecido al teorema chino, pero para polinomios):

Analogamente:

Ok, y ahi me quede.. el problema esta en que me faltan 3 valores de F, porq el r como ya dije, es de grado 5 e implica 6 incognitas... teniendo esos 3 valores de F q me faltan, tendria las 6 ecuaciones que necesito para hallar univocamente el resto.

Tenés 3 valores de los 6 que tendrías que tener. Ahora bien, estudiá el polinomio \(f(x)-3\eq=h(x)\). ¿Qué sucede en los puntos que son raíces del cociente que estudiás?

Pero hay un dato que no usamos hasta ahora... que \(f\in \mathbb{Q}[X]\). En particular, \(r,3\in \mathh{Q}[X]\), pues el divisor también está allí. La propiedad que cumplen este tipo de polinomios es que si una raíz es un número de la forma \(a+b\cdot \sqrt{c}\), también lo es \(a-b\sqrt{c}\). La gracia reside en que \(h(x)\) es un polinomio en \(\mathbb{Q}[X]\) que tiene tres raíces de la forma \(1+\sqrt2,\;2-\sqrt3,\;1+\sqrt5\)... quiénes son raíces de \(h(x)\)? Luego se concluye que los puntos que ''desconocías'' f vale 3. El grado de r es menor o igual que 5, y vale 3 en los 6 puntos; luego el teorema de interpolación asegura la unicidad de un polinomio que pasa por 6 puntos siendo 0 o de grado menor o igual a 5. Como el \(r\eq=3\) satisface las condiciones del teorema, se concluye que ese es el resto, por ser único.

Firma

I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

siii !
ahi esta, es ese el poquitito que me faltaba... sospechaba algo parecido, pero no se me ocurrio lo de estudiar otro polinomio..

disculpa, no entiendo.
por que decis
\(f(x) + r(x) = h(x)\) necesariamente \(r(x)\) en las demas raices de \(h\) valen lo mismo q en las conjugadas?