Bueno, hago este ejercicio para probar el TeX y de paso me presento, soy Nico =)
$$\textrm{Hallar todos los } n\in\mathbb{N}\textrm{ tales que } ( n : 1260 ) = 70 \textrm{ y } n \textrm{ tiene 30 divisores positivos.}$$
Empiezo factorizando:
$$( n : 1260 ) = 70 \Leftrightarrow ( n : {2}^{2}\cdot{3}^{2}\cdot5\cdot7 ) = 2\cdot5\cdot7$$
Con esto puedo saber que \(n = 2\cdot{5}^{1+k}\cdot{7}^{1+j}\cdot{P}^{l}\) con \(k , j, l \geq 0\) y \(P\) otro primo diferente de 3.
Por otro lado, se que tiene que tener 30 divisores positivos, y eso va a estar dado por \(({V}_{1} +1)({V}_{2} +1)({V}_{3} +1) .... ({V}_{n} +1)\), siendo \({V}_{1...n}\) la potencia de cada primo que involucra a \(n\)
Entonces:
\(2\cdot(2 + k)\cdot(2 + j)(l + 1) = 30\) pero como \(30 = 2\cdot3\cdot5\), las unicas posibilidades que quedan son:
$$\bullet k=1,j=3,l=0$$
$$\bullet k=3,j=1,l=0$$
y los numeros buscados son:
$$\bullet n = 2.{5}^{2}.{7}^{4}$$
\(\bullet n = 2.{5}^{4}.{7}^{2}\)
Bue, espero que se entienda, mi capacidad para explicar un ejercicio no es buena y menos a estas horas.. de todas formas era un ejercicio facil, solo para probar el TeX y empezar a aportar algo. Me parecio muy buena idea que tuvieron de poner este foro, puede llegar a ser muy util que nos ayudemos entre todos...
Saludos
$$\left(\begin{matrix}O & X & O \\ X & O & O \\ O & X & X \end{matrix}\right)$$
Te hago una sugerencia para que quede mejor el TeX:
todo lo que sea texto como "Hallar todos los..",etc. lo pongas entre \textrm{ } así se distingue entre tus comentarios y el enunciado del problema, y quedaría algo así:
$$\textrm{Hallar todos los }n \in \mathbb{N}\textrm{ tales que }(n:1260) = 70\textrm{ y }n\textrm{ tiene 30 divisores positivos.}$$
También tratá de lo que está en un mismo renglón ponerlo en un sólo tag de TeX, así por ejemplo se arreglaría esto: