en \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\) sabiendo que tiene una raíz múltiple de argumento \(\frac{\pi}{2}\).
Nota: este lo intenté resolver partiendo de que al tener argumento \(\frac{\pi}{2}\) se trata de un imaginario puro, por lo tanto una raíz vendría a ser \(bi\) y por lo tanto \(-bi\) también. Después, como dice que sea múltiple puedo deducir que \(f={({x}^{2}+{b}^{2})}^{2}.q+0\) Pero ahí quedé.
**5) **Determinar para qué valores de \(a\in\mathbb{C}\) el polinomio \({x}^{3}-a{x}^{2}-4{a}^{2}x+4a\) tiene dos raíces cuyo producto es igual a \(-4\).
Para cada valor hallado, factorizar el polinomio obtenido en \(\mathbb{C}[x]\).
Nota: ya en este no sé para donde ir, probablemente por haber faltado a unas cuantas prácticas...
Muchas gracias a todos desde ya por cualquier tipo de ayuda!
Muchísimas gracias por la respuesta, pero tuve un par de conflictos:
En el primero, al separar todo y resolver un poco el sistema me queda algo horrible, que \(-{b}^{4}+6{b}^{2}-9=0\)
Y ahí me volví a estancar..
El segundo lo terminé resolviendo de una manera que resultó bastante fácil..
Primero plantee que la multiplicación de las raíces era igual al coeficiente del término independiente ( \(-\alpha.\beta.\gamma=4a\) ), entonces como ya sabía que \(\alpha.\beta\) era \(-4\) lo apliqué y me queda que \(\gamma=a\).
Entonces divido el polinomio inicial por \((x-a)\) (que sospechosamente es bastante fácil de resolver) y busco que el resto sea cero, de manera que me queda que \(4a-4{a}^{3}=0\).
Despejando llego a que los posibles valores de a son: \(a=0\) , \(a=1\) , \(a=-1\) .
Entonces reemplazo en el polinomio original y verifico que cumplan lo pedido (que la multiplicación de dos de sus raíces de \(-4\) ) y sólo \(a=1\) y \(a=-1\) lo cumplen (porque si \(a=0\) , te queda el polinomio \(f={x}^{3}\) , que tiene una raíz triple en \(x=0\) )
Si no te jode, fijate si podés alumbrarme un poco más el camino en el primero, te estaría altamente agradecido 😄
Muchísimas gracias por la respuesta, pero tuve un par de conflictos:
En el primero, al separar todo y resolver un poco el sistema me queda algo horrible, que \(-{b}^{4}+6{b}^{2}-9=0\)
Y ahí me volví a estancar..
El segundo lo terminé resolviendo de una manera que resultó bastante fácil..
Primero plantee que la multiplicación de las raíces era igual al coeficiente del término independiente ( \(-\alpha.\beta.\gamma=4a\) ), entonces como ya sabía que \(\alpha.\beta\) era \(-4\) lo apliqué y me queda que \(\gamma=a\).
Entonces divido el polinomio inicial por \((x-a)\) (que sospechosamente es bastante fácil de resolver) y busco que el resto sea cero, de manera que me queda que \(4a-4{a}^{3}=0\).
Despejando llego a que los posibles valores de a son: \(a=0\) , \(a=1\) , \(a=-1\) .
Entonces reemplazo en el polinomio original y verifico que cumplan lo pedido (que la multiplicación de dos de sus raíces de \(-4\) ) y sólo \(a=1\) y \(a=-1\) lo cumplen (porque si \(a=0\) , te queda el polinomio \(f={x}^{3}\) , que tiene una raíz triple en \(x=0\) )
Si no te jode, fijate si podés alumbrarme un poco más el camino en el primero, te estaría altamente agradecido 😄
MALDITO cambio de variable! La puta madre, mirá como salía el hdp 😄 ... Muchas gracias! el resto ya es cuenterío y sale a los pedos, de última avisaré, pero ya veremos.
