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[Resuelto] 05/08/2009 - Ej 2 - 1er P - 1er R

4 respuestas 7541 visitas 2009-08-06

#1 FJL 2009-08-06 19:04

\text{Sea }{(a_n)}_{n \in \mathbb{N}}\text{ la sucesi\'on de n\'umeros reales definida por:}

a_1 = 1,\ \ \ \ a_{n+1} = \frac{4n+2}{n+2} a_n,\ n \in \mathbb{N}.

\textrm{Probar que $a_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}$ para todo $n \in \mathbb{N}$.}

Una vez mas, al final del ejercicio quedé sorprendido de que estas cosas fueran ciertas. Estoy seguro que algún día alguien va a probar que la inducción es todo una grán mentira que para n = {un número gigante} no funciona. Ya verán. Ya verán todos!

Bueno, empezamos.
Primero, tenemos que probar a ver si funciona para el caso base, o estamos mintiendo desde el vamos.

a_2 = \frac{6}{3} = 2 = \frac{1}{3} \binom{4}{2} = 2

Ok, no estamos mintiendo. Pacemos a la inducción en $n$. Queremos entonces probar que:

a_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} \Rightarrow a_{n+1} = \frac{1}{n+2} \binom{2n+2}{n+1}

Ya de entrada el $a_n$ está muy despejado por la fórmula que nos dan de $a_{n+1}$. Está prácticamente rogando que usemos la hipótesis inductiva, y quiénes somos nosotros para negarle algo a una inerte expresión matemática?

Una cosa importante: Yo voy a partir ahora de lo que quiero probar, y mediante una serie de si-y-solo-sis, voy a querer llegar a una verdad (1=1, 0=0, exactas > ingeniería). Es importante que todo lo que hago sea un si-y-solo-si, porque mi prueba en sí vale porque vale la vuelta de un si-y-solo-si. Si yo hago una implicación solamente, la vuelta no necesariamente va a ser verdad.

Con lo legal aclarado:

a_{n+1} = \frac{4n+2}{n+2} \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} = \frac{1}{n+2} \binom{2n+2}{n+1}

\iff \frac{2(2n+1)}{n+1} \binom{2n}{n} = \binom{2n+2}{n+1}

\iff \frac{2(2n+1)}{n+1} \frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} = \frac{(2n+2)!}{(n+1)!(2n+2-n-1)!}

\iff \frac{2(2n+1)}{1} \frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} = \frac{(2n+2)!}{n!(n+1)!}

\iff \frac{2(2n+1)}{1} \frac{(2n)!}{n!} = \frac{(2n+2)!}{(n+1)!}

\iff \frac{2(2n+1)}{1} \frac{(2n)!}{n!} = \frac{(2n)!(2n+2)(2n+1)}{(n+1)!}

\iff \frac{2}{1} \frac{1}{n!} = \frac{(2n+2)}{(n+1)!}

\iff \frac{2}{n!} = \frac{2(n+1)}{n!(n+1)}

\iff \frac{2}{n!} = \frac{2}{n!}

Lo cual es cierto. En el parcial lo hice por otro camino (bastante mas largo por cierto), pero de igual manera llegamos.
Ahora, como llegamos a una verdad por una serie de si-y-solo-sis, nuestra prueba es de la forma $Q \iff V$, entonces afirmamos que nuestra hipótesis inicial era cierta, y listo. Ejercicio terminado.

EDIT: Corregí el LaTeX.

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Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.

Editado 1 vez.

#2 Nergal 2009-08-06 19:50

Ay, carancho...
Puse un primer si y sólo sí y el resto no los puse...
Ya tengo un punto menos 😕

Yo voy a partir ahora de lo que quiero probar, y mediante una serie de si-y-solo-sis, voy a querer llegar a una verdad (1=1, 0=0, exactas > ingeniería)

😄 😄 😄 😄

#3 Leandro 2009-08-06 20:22

Fijate que hay un error bastante groso en el caso base, tenes q probar q el $$a_{n}$$ cumpla el caso del $$a_{1}$$que te dan, es decir $$a_n%20=%20\frac{1}{n+1}%20\binom{2n}{n}$$ reemplazando n con 1
te queda que $$a_1%20=%20\frac{1}{1+1}%20\binom{2}{1}$$
y eso da justamente 1.
Ese es el caso base q hay que probar, no $$a_{2}$$

Un abrazo!!!

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Mentalmente Estable

#4 Floreal Ruíz 2009-08-07 00:49

Claro, tenes que probar para que es cierto para $P(1)$ espero que te lo den como correcto de todas formas.

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Hoy esta muerto y con él, cuanta memoria se apaga...

#5 FJL 2009-08-07 01:43

Tenés razón, lo que yo probé es que vale para todo natural del 2 al infinito. Pero me falto el uno 🙂 Osea, está "bien" el resto de la demostración (no es que se cae a pedazos como si no hubiera probado un caso base), pero me faltó el 1. Casi llego a mi objetivo de parcial perfecto...casi 🙁