Otro problema 😕
Sean \(a,b,c\in{\mathbb{Z}}\) tales que \(13a^{36}-3b^{12}=c^{48}\)
Probar que \(35|abc\)
Saludos!
Tema
1er parcial 27/07/03
\(35 | abc \, \iff 5|abc\) y \(7|abc\)
Tenemos que \(13a^{36} - 3b^{12} - c^{48} = 0\)
Supongamos que 5 no divide a \(a\), ni \(b\), ni \(c\), es decir, es coprimo con \(a\), \(b\), \(c\).
Como \(5|0\), podemos decir que \(5|13a^{36} - 3b^{12} - c^{48}\)
O mejor, \(13a^{36} - 3b^{12} - c^{48} \equiv 0 (5)\). Más aún, como \(5\) es coprimo con \(a,b,c\), usando \(P.T.F.\) quedaría \(13 - 3 - 1 \equiv 0 (5)\), o sea \(9 \equiv 0 (5)\), lo cual es absurdo. Esto vino de suponer que \(5\) no divide a \(a\), ni \(b\), ni \(c\), Luego \(5\) tiene que dividir a alguno.
Analogamente con \(7\), supongamos que no divide a ninguno.
Como \(7|0\), \(7|13a^{36} - 3b^{12} - c^{48} \equiv 0 (7)\). Vale usar \(P.T.F.\), para concluir que \(13 - 3 - 1 \equiv 0 (7)\). Así \(9 \equiv 0 (7)\). Absurdo. Luego \(7\) debe dividir a \(a\), \(b\) o \(c\)
Creo que está bien, por ahí lo hice medio así nomás y hay algo que no veo, cualquier cosa avisen. Saludo.
Firma
$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$
perdón pero no entendí cómo pasás de esto:
$$13a^{36} - 3b^{12} - c^{48} \equiv 0 (5)$$
a esto:
$$13 - 3 - 1 \equiv 0 (5)$$
no me acuerdo de esa propiedad si alguien me lo puede refrescar se lo agradezco!
Firma
"if people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicate life is"
inesi escribió:
perdón pero no entendí cómo pasás de esto:
$$13a^{36} - 3b^{12} - c^{48} \equiv 0 (5)$$a esto:
$$13 - 3 - 1 \equiv 0 (5)$$no me acuerdo de esa propiedad si alguien me lo puede refrescar se lo agradezco!
El tema es el siguiente, como él supone (5:a) = 1 Luego por el pequeño teorema de Fermat se deduce que
$$a^{4}\equiv{1} $(mod 5)$$$
En particular se tiene que \(13(a^{36}) = 13(a^{4*9}) = 13(({a^{4}})^{9})\equiv 13({1^{9}}) \equiv{13}$(mod 5)$\)
Aplicando el mismo criterio en b y c
Te queda que \(13a^{36} - 3b^{12} - c^{48} \equiv 13 - 3 - 1 $(mod 5)$\)
y como \(13a^{36} - 3b^{12} - c^{48} \equiv 0 (5)\), por transitividad \(13 - 3 - 1 \equiv 0$(mod 5)$\) o lo que es lo mismo \(5 | 13 - 3 - 1\)
O sea que 5 divide a 9... absurdo.
Espero que haya servido
si ya lo entendí...
q pava había aplicado fermat pero estaba dividiendo la potencia por 5 jaja
gracias!!!!