$$\bullet \textrm{Hallar el resto de dividir por 15 a la suma de los divisores positivos de } {8}^{21}$$
Para facilitar un poco las cosas,
$${8}^{21} = {2}^{21} \cdot {2}^{21} \cdot {2}^{21} = {2}^{63}$$
La suma de los divisores positivos de un numero esta definida como:
$$\sum_{n=0}^{M} {P}^{n} \cdot \sum_{n=0}^{{M}_{1}} {{P}_{1}}^{n} \cdot ... \cdot \sum_{n=0}^{{M}_{k}} {{P}_{k}}^{n}$$
siendo P cada primo que compone al numero y M su maxima potencia
En este ejemplo, el unico primo involucrado es 2, asi q queda asi de simple:
$$\sum_{n=0}^{63} {2}^{n}$$
Y sabemos la formula cerrada de eso:
$$\sum_{n=0}^{63} {2}^{n} = {2}^{64}-1 = {16}^{16} -1$$
Bueno, lo que queremos averiguar es:
$${r}_{15}({16}^{16} - 1) = {r}_{15}({r}_{15}({16}^{16}) - {r}_{15}(1))$$
$$\bullet {r}_{15}({16}^{16}) = {r}_{15}({r}_{15}(16) \cdot {r}_{15}(16) \cdot ... \cdot {r}_{15}(16))$$
$${r}_{15}(16) = 1 \Rightarrow {r}_{15}(1 \cdot 1 \cdot .... \cdot 1) \Rightarrow {r}_{15}(1)$$
$$\bullet {r}_{15}(1) = 1$$
Entonces:
$${r}_{15}({16}^{16} - 1) = {r}_{15}(1 - 1) = 0$$
\(\Box\)