Calcular el resto de dividir \(\frac{13^{30!}+13}{2}\) por \(1528\)
Veo la congruencia en módulo \(191\) y \(8\)
\(13^{(190).(\frac{30!}{190})}\equiv 1 (191)\) Por el corolario del pequeño teorema de Fermat.
Luego \(\frac{1+13}{2}\equiv7(191)\)
Veo la congruencia en módulo \(16\)
Porque después voy a dividir por \(2\) y me va a quedar la congruencia en módulo \(8\)
Si hacemos una tablita, observamos que \(13^4\equiv1(16)\)
Luego
$$13^{({4}).(\frac{30!}{4})}\equiv1(16)$$
$$1+13\equiv14(16)=16k+14$$
Dividimos por \(2\Rightarrow8k+7\)
El resto es \(7\)
Nos quedó un sistemita, llamemos \(A=\frac{13^{30!}+13}{2}\)
$$A\equiv7(191)$$
$$A\equiv7(8)$$
Se ve claramente que el resto es \(7\)
$$A=191q+7$$
$$191q+7\equiv7(8)$$
$$191q\equiv0(8)$$
$$q\equiv0(8)$$
$$q=8k$$
$$A=191(8k)+7$$
$$A=1528k+7$$
El resto de dividir a \(A\) por \(1528\) será \(7\)
No justifiqué demasiado acá, es para ver si les da igual.
Lo corregí, fijense si esta bien ahora, gracias Quimey por el dato y por arruinarme las ilusiones 🙁
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Hoy esta muerto y con él, cuanta memoria se apaga...
Me da la impresión de que el ejercicio está mal, hasta la parte de \(13^{30!}+13\equiv 6 (8)\) te creo. Pero eso significa que \(13^{30!}+13=8k+6\) cuando dividimos por 2 nos queda \((13^{30!}+13)/2=4k+3\) y perdes los datos modulo 8. Es por eso que hay que considerar modulo 16 antes, asi despues de dividir por 2 te queda modulo 8.
A mi me dio 7, usé Euler en la congruencia con el 8.
Si tengo tiempo posteo mi sc después.
Saludos y espero nos aprueben
Puede ser, Euler te da un número pero no significa que sea el más chico.
Quimey escribió:
Me da la impresión de que el ejercicio está mal, hasta la parte de \(13^{30!}+13\equiv 6 (8)\) te creo. Pero eso significa que \(13^{30!}+13=8k+6\) cuando dividimos por 2 nos queda \((13^{30!}+13)/2=4k+3\) y perdes los datos modulo 8. Es por eso que hay que considerar modulo 16 antes, asi despues de dividir por 2 te queda modulo 8.
Ni se me ocurrió hacer eso, tiene sentido la verdad, me pondrías un regular aunquesea 🙁 ?
Ni lei el thread pero fijate que \(190=2*5*19\) y \(30!=1*2*3*4*5*(...)*18*19*20*(...)*32*33\), basicamente se cancelan y queda el producto de numeros naturales, que da un numero natural.