Tema
Hallar todos los \(w \in G_{20}\) tales que \(1 + w^3 + w^6 + w^9 = 0\).
¿Existirá alguna solución más elegante que probar por fuerza bruta con los 20 elementos? 🙂 Lo único que se me ocurrió en el momento fue lo de que \(\sum_{k=0}^{n-1} w^{k} = \frac{w^{n} - 1}{w-1} = 0\), pero no sabía cómo usarlo, ni si era lo que necesitaba.
Saludos, y gracias. El foro está muy bueno; se aprende mucho. 🙂
EDIT: Título del thread arreglado (cambié el Tema y el número de ejercicio del parcial).
Editado 1 vez.
Yo lo que hice fue un cambio de variable: \(z = w^3\), entonces se te reducía a la ecuación \(1+z+z^2+z^3=0\) que se le pueden sacar las raíces \((1,i,-i)\) entonces después reemplazabas en el cambio y te quedaban:
De ahí salían 9 \(w\)'s de módulo \(1\) y de argumento \(\alpha_j\). \(G_{20}\) es generado por los complejos de módulo \(1\) y de argumento \(\frac{2n \pi}{20}\). Basta con tomar \(\alpha_j = \frac{n \pi}{10}\) y ver si \(n \in \mathbb{N}\) para cada \(j\). Los que cumplían eso pertenecían a \(G_{20}\) y eran solución de la ecuación.
Capaz había una forma de hacerlo más elegante, ni idea. De hecho no sé si está bien lo que hice.
(el que me pareció muy interesante fue el de "a qué potencia está \(5\) en la siguiente factoración".)
Editado 1 vez.
No sé si no estoy entendiendo bien, pero 1 no es raíz de \(1+z+z^2+z^3=0\). Debe ser que quisiste decir -1. En ese caso, me parece que la resolución debería ser correcta. Quizás haría falta aclarar que, en realidad (si por un momento olvidás que 1 no es solución de la ecuación del enunciado) deberías buscar que sea \(n \in \mathbb{N} \cup \{0\}\) (a decir verdad, como uno está buscando números en \(G_{20}\) y los \(\alpha_j\) son argumentos, sabe que los \(n\) válidos serán \(n \leq 19\)).
sí, me confundí al tipear, era \(-1\). Gracias.