[Resuelto] Ejercicio del 2do parcial - 1er cuat 2014

Sea \(w\in G_{286}\) primitiva. Hallar los \(n\in\mathbb{N}/w^{13n}+\overline{w}^{104}=0\)

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Ah, lo rápido que suben los ejercicios de parcial.

Lo que queremos resolver es \(w^{13n} = -\overline w^{104}\). Un par de observaciones: primero, \(\overline w^{104} = w^{-104}\). Por otro lado, \((w^{134})^2 = 1\), y como \(w\) es primitiva, eso implica que \(w^{134} = -1\). Queda entonces que estamos resolviendo \(w^{13n} = w^{134}w^{-104} = w^{30}\). Otra vez, como \(w\) es primitiva de orden 286, esto ocurre si y solo si \(13n \equiv 30 (286)\). Ahí resolves la ecuaci{on de congruencias y listo.

Cualquier cosa que no te quede clara, chiflá.

Y que rapido responden! Muchas gracias

Habia llegado a plantear \(w^{13n}=-w^{-104}\) pero no supe como hacer aparecer el -1
entonces como \(1=w^{0}=w^{286}=(w^{143})^{2}\Rightarrow w^{143}=-1\Rightarrow w^{13n}=w^{143}.w^{-104}=w^{39}\)
y llego a que \(w^{13n}=w^{39}\Leftrightarrow13n\equiv39(286)\Leftrightarrow n\equiv3(22)\)
concluyendo que \(n=22k+3\) \(\forall k\in\mathbb{Z}\)

Perfecto! Había un error en mi solución, pero la tuya está perfecta.